Элементарное доказательство ВТФ для четных показателей n.

[Руст]

iakowlew в сообщении #384838 писал(а):

Центральный пункт док-ва, состоит в том, что если ур-е (1) имеет
минимальное решение в целых, т. е. $x_{min}, y_ {min},z_{min}$,
то они определяются единственными значениями $u$ и $v$.

С этим я не спорю.
Я вам про Фому, вы про Ерему.
Больше не буду вам отвечать, раз не хотите понять свою ошибку.
Если знаете элементарное доказательство Тержаняна более тонкое и то он проходит только для первого случая..

[iakowlew]

В истории математики известны два имени Эйлер и Гаусс. Один царь
второй король. А где император...

[migmit]

iakowlew в сообщении #385325 писал(а):

В истории математики известны два имени Эйлер и Гаусс. Один царь
второй король. А где император...

(Оффтоп)

У вас очень ограниченные знания по истории математики.

[iakowlew]

В истории математики есть два имени. Эйлер и Гаусс. Один царь, второй король. А где император...

[anwior]

iakowlew в сообщении #385332 писал(а):

В истории математики есть два имени. Эйлер и Гаусс. Один царь, второй король. А где император...

А в зеркало глянь -- истинно Императора узришь!

[iakowlew]

$x_{min}=uv=u_1v_1$.
$z_{1min}^n=u^2+v^2=u_1^2+v_1^2.$
Очевидно, что существует единственное значение $z_{1min}$.

[age]

iakowlew в сообщении #384457 писал(а):

На основании формул (3), имеем, что $z_1^{2n}=x^2+y^2}$. Это уравнение вида (5).
Поэтому, с учетом того, $x=2uv$, имеем:
(8) $z_1^{2n}=u^2+v^2$.

Если $\begin{cases} z_1^{2n}=x^2+y^2 \\ z_1^{2n}=u^2+v^2 \end{cases}$, то $x^2+y^2=u^2+v^2$, но $x^2=4u^2v^2>u^2+v^2$

[iakowlew]

Это опечатка. Исправлено:
(8) $z_1^n=u^2+v^2$.

[age]

То, что $z_1^{2n}=x^2+y^2$ - это факт очевидный. То, что $z_1^{n}=u^2+v^2$ - вы утверждаете. Тогда $x^2+y^2=(u^2+v^2)^2$. Откуда $x=2uv$, $y=u^2-v^2$. Но $y^n=u^{2n}-2^{2(n-1)}v^{2n}$. Откуда $u^{2n}-2^{2(n-1)}v^{2n}=(u^2-v^2)^n$.

[iakowlew]

Здесь рассматривается первый случай, когда $z$ не кратен $n$, на основе формул (3).
Второй случай рассматривается на основе формул (4).

[iakowlew]

Это док-во я аннулирую...
Возможно я предложу док-во для $n=6$ и для первого случая теоремы (для четных $n$).

[Sandor]

Jakowlew писал:

- Это доказательство я аннулирую.....Возможно предложу доказательство для

$${\text{n}} = 6$$

С целью отклонения Вас от этих намерений, привожу свою точку зрения.

Утверждение:доказательство ВГФ для чётных степеней

$${\text{n}} \geqslant 6$$

предполагает доказателтства для простых n.

Рассмотрим уравнение:

$${{\text{x}}^{{\text{2n}}}} = {{\text{z}}^{{\text{2n}}}} - {{\text{y}}^{{\text{2n}}}}.$$

Предположим,что

$${\text{x}}$$

нечётное.

Перепишем уравнение:

$${\left( {{{\text{x}}^{\text{n}}}} \right)^2} = {\left( {{{\text{z}}^{\text{n}}}} \right)^2} - {\left( {{{\text{y}}^{\text{n}}}} \right)^2} = \left( {{{\text{z}}^{\text{n}}} - {{\text{y}}^{\text{n}}}} \right)\left( {{{\text{z}}^{\text{n}}} + {{\text{y}}^{\text{n}}}} \right) = {\text{U}}_1^2{\text{U}}_2^2,$ $ где

$${{\text{U}}_2} > {{\text{U}}_1},$$

- нечётные.

Запишем вариант и формулы решения:

$$ \pm \left\{ \begin{gathered} {{\text{z}}^{\text{n}}} - {{\text{y}}^{\text{n}}} = {\text{U}}_{\text{1}}^{\text{2}} \hfill \\ {{\text{z}}^{\text{n}}} + {{\text{y}}^{\text{n}}} = {\text{U}}_{\text{2}}^{\text{2}} \hfill \\ \end{gathered} \right\},{{\text{x}}^{\text{n}}} = {{\text{U}}_1}{{\text{U}}_2},{{\text{y}}^{\text{n}}} = \frac{{{\text{U}}_2^2 - {\text{U}}_1^2}}{2},{{\text{z}}^{\text{n}}} = \frac{{{\text{U}}_2^2 + {\text{U}}_1^2}}{2}.$$

Из решения имеем:

$${{\text{z}}^{\text{n}}} - {{\text{y}}^{\text{n}}} = \frac{{{\text{U}}_2^2 + {\text{U}}_1^2}} {2} - \frac{{{\text{U}}_2^2 - {\text{U}}_1^2}}{2} = {\text{U}}_1^2.$$

Мы пришли к необходимости решения уравнения

$${{\text{z}}^{\text{n}}} - {{\text{y}}^{\text{n}}} = {\text{U}}_1^2,$$

где

$${\text{n}} - $$

простое число больше 2.

С уважением:Sándor

[Sandor]

Продолжение предыдущего сообщения:

Собственно необходимо решить систему из двух уравнений степени n, где n простое число больше 2.

[venco]

Sandor в сообщении #389191 писал(а):

$$ \pm \left\{ \begin{gathered} {{\text{z}}^{\text{n}}} - {{\text{y}}^{\text{n}}} = {\text{U}}_{\text{1}}^{\text{2}} \hfill \\ {{\text{z}}^{\text{n}}} + {{\text{y}}^{\text{n}}} = {\text{U}}_{\text{2}}^{\text{2}} \hfill \\ \end{gathered} \right\}$$

С чего вдруг?

[Sandor]

Venko писал(а):

- "С чего вдруг?"

Не вдруг, а на основании полвека работы по решению ВГФ!

Гипотетическое решение системы даёт полное доказательство ВГФ. Но её элементарное решение не найдено, наверное не случайно. Поэтому существование элементарного доказательства неразрешимости уравнения Ферма при сложных степенях 2n, где n=1,2,3,.... сомнительно. Вероятно этот факт привел Ферма к поиску отдельных решений для степеней

$$n = {2^k},k = 1,2,3,...$$

и простых, больших 2. Первый сучай он решил - как известно - методом полной обратной индукции (методом спуска). Решение им второго случая - даже для

$$n = 3$$

- нахоится под вопросом, что подтверждается и существованием Подфорума!

Сложная степень 2n при n=1,2,3,... обеспечивает доказательство ВГФ при всех степенях уравнения Ферма, так как разрешимость системы при n=1 доказана, и доказателтство её неразрешимости при

$$n > 1$$

означает её полное доказательство, ибо причиной неразрешимости может быть только

$${\text{n}} > 1.$$

Из системы при нечётном

$$x$$

имеем:

$${x^n} = {U_1}{U_2},(1),{y^n} = \frac{{U_2^2 - U_1^2}} {2},(2),{z^n} = \frac{{U_2^2 + U_1^2}}{2},(3).$$

Уравнение (1) не представляет проблемы. Уравнение (2) решается отностиельно просто. Решение уравнения (3) потенциально возможно в комплексной системе. Система имеет решение, если уравнения (2) и (3) имеют и совместное нетривиальное решение . Доказательство этого - или этому обратного - и есть камнем приткновения доказательства по приведенному методу!

С уважением: Sándor