Необходимые условия

[бобыль]

Рассмотрим парадокс Перрона. Пусть $N$ - наибольшее положительное целое число. Если $N \neq 1$, то $N^2 > N$, что противоречит максимальности $N$. Значит, $N = 1$.

Обычно этот парадокс приводят, чтобы подчеркнуть важность теорем существования. Представьте себе, мы предположили существование решения (а на самом деле его нет) и отсюда нашли необходимые условия, которым решение должно удовлетворять, а затем в этих "необходимых" условиях будем его искать, ну и найдем что-нибудь типа $N = 1$, ведь не всегда недостаточность необходимых условий столь очевидна. (Не знаю, могут ли сработать полученные таким же манером "достаточные" условия.)

А с другой стороны вспоминаются "Беседы" Галилео Галилея:

Цитата:

Если какое-либо число должно являться бесконечностью, то этим числом должна быть единица; в самом деле, в ней мы находим условия и необходимые признаки, которым должно удовлетворять бесконечно большое число, поскольку оно содержит в себе столько же квадратов, сколько кубов и чисел вообще... Единица является и квадратом, и кубом, и квадратом квадрата и т.д. Отсюда заключаем, что нет другого бесконечного числа, кроме единицы. Это представляется столь удивительным, что превосходит способность нашего представления.

Что скажете? Может, необходимые условия небессмысленны и без теорем существования?

[Три А,да]

А сложи ка 1 с 1,получишь больше,значит 1 не самое большое число.

[ЕвгенийТ]

бобыль писал(а):

ведь не всегда недостаточность необходимых условий столь очевидна.

"Недостаточность" необходимых условий всегда очевидна. Вы хотели сказать, имхо, "некорректность необходимых условий".

бобыль писал(а):

(Не знаю, могут ли сработать полученные таким же манером "достаточные" условия.)

Достаточные условия тоже могут давать сбой, если были неверны посылки. Кстати в Вашем примере выше также были некорректные посылки и мы получили сигнал, что что-то не так.

бобыль писал(а):

Что скажете? Может, необходимые условия небессмысленны и без теорем существования?

Конечное же не бессмысленны. И Достаточные и необходимые условия полезны. Вот пример.

Полезность необходимого условия.
Если a -- решение, то пусть нам удалость вывести необходимое условие b, то есть a\to b.
Мы видим, что если b неверно, т.е. в классическом смысле верно \neg b, то получаем, что верно \neg a. И тогда смотрим, если \neg b -- неоспоримая истина, то значит у нас ошибочное представление об a (пример выше).

Полезность достаточного условия.
Если a -- решение, и нам чудом удолось получить какое-то хорошее достатоное условие c, то есть верно c\to a, тогда дальше мы смотрим, если \neg c -- неоспоримая истина, то у нас неверное представление об истиности a.

Так, что думаю, полезность необходимых и достаточных условий имеет место.
Думаю, что человек именно так и мыслит. Строит у себя в голове импликации вида a\to b, и проверяет их. То есть мозг работает в режиме "подтверждение=предположение+опровержение обратного". А уже оттуда получаются всякие там теоремы существования.

О том, что нет чисто логического мышления -- говорит вся философия. Невозможно взять вот так и вывести, что a\to b, что бы ни понимали под a и b