Клиффордовы полугруппы

[Naf2000]

Рассмотрим клиффордову полугруппу $S$ состоящую из двух максимальных подгрупп $G_1, G_2$. То есть $G_1\cup G_2 = S, G_1\cap G_2 =\emptyset$.
Пусть для некоторых $g_1 \in G_1, g_2 \in G_2$ верно $g_1 g_2 \in G_1$. Тогда нетрудно доказать, что $\forall h_1 \in G_1, \forall h_2 \in G_2 \Rightarrow h_1 h_2 \in G_1$. И далее, если рассмотреть $g_2 g_1$ то приходим к выводу, что возможны лишь случаи:
1. $G_1, G_2$- правые идеалы
2. $G_1$- двусторонний идеал
а если рассмотреть и случай, когда $g_1 g_2 \in G_2$, то получим еще случаи:
3. $G_1, G_2$- левые идеалы
4. $G_2$- двусторонний идеал
То есть структура такой полугруппы с точностью до строения максимальных подгрупп описывается эпиморфизмом $S \to T$, где $T=\{e_1,e_2\}$ - некоторая полугруппа идемпотентов, причем если $g \in G_i$ то $g \mapsto e_i$.

Собственно, что интересует: можно ли данные рассуждения продолжить на произвольную клиффордову полугруппу? (или с конечным (счетным) числом максимальных подгрупп)
То есть верно ли, что если для некоторых $g_i \in G_i, g_j \in G_j$ верно $g_i g_j \in G_k$, то верно и $\forall h_i \in G_i, \forall h_j \in G_j \Rightarrow h_i h_j \in G_k$