Пересечение плоскостей в 4-хмерном пространстве

[caxap]

В 4-х измерениях у меня интуиция не работает... Подскажите, пожалуйста,
1) могут ли две 2-мерные плоскости в 4-хмерном пространстве пересекаться ровно в одной точке?
2) могут ли две 3-мерные плоскости в 4-хмерном пространстве пересекаться ровно по одной двумерной плоскости?

[ИСН]

Ну так и задвиньте интуицию за шкаф, а обо всём этом думайте в терминах систем линейных уравнений.

[paha]

caxap в сообщении #384117 писал(а):

1) могут ли две 2-мерные плоскости в 4-хмерном пространстве пересекаться ровно в одной точке?

да

caxap в сообщении #384117 писал(а):

2) могут ли две 3-мерные плоскости в 4-хмерном пространстве пересекаться ровно по одной двумерной плоскости?

да...

в $n$-мерном пространстве подпространства размерностей $k$ и $l$ пересекаются (в общем положении) по $(k+l-n)$- мерному подпространству)))

-- Пн дек 06, 2010 00:20:39 --

ВПРОЧЕМЪ, ИСН
правильно думать призываетъ

[Утундрий]

Можно уравнения писать, а можно и векторы лепить. Второе мне несколько ближе. Возьмем, например, 2-плоскость и посадим на ней два касательных и два нормальных вектора так, чтобы все 4 образовывали базис. Отмечаем, что можем векторами по-всякому шевелить, не нарушая касательности и нормальности. Далее, рассматриваем различные способы натягивания на означенные векторы второй 2-плоскости: на два нормальных (пересечение - точка), на один нормальный и один касательный (пересечение - линия), на два касательных (совпадение плоскостей).

[caxap]

paha в сообщении #384120 писал(а):

да
...
да

Ого. Я, как наивный человек, полагал, что если в 3-х измерениях две плоскости пересекаются по прямой, то добавление нового измерения ничего не изменит (аналогия была следующая: две прямые на плоскости пересекаются в точке, а после добавления 3-го измерения, они так в той точке и продолжают пересекаться). (Куда же интуицию девать? В теории множеств не работает, в >3-мерных пространствах не работает. Зараза.)

ИСН в сообщении #384118 писал(а):

думайте в терминах систем линейных уравнений.

Об этом я как-то не подумал. Спасибо за идею!

Утундрий, как обычно, ничего не понял.

[Mathusic]

Утундрий в сообщении #384121 писал(а):

Возьмем, например, 2-плоскость и посадим на ней два касательных и два нормальных вектора так, чтобы все 4 образовывали базис.

Что значит "посадим"? Если "присовокупим", причём тут плоскость?

P.S. Берём определённую ОСЛУ. Разделяем её на две системы, по 2 ур-я. И вот две пл-ти.
Можно взять хоть $EX=O$.
А геоминтерпретация такая. Берём плоскость (2-ва ур-я), проводим прямую пересекающую плоскость в точке. Берём у этой прямой направляющий вектор и добавляем к нему четвёртый вектор, не лежащий в трёхмерном пространстве...

[Утундрий]

С ортогональностью я там погорячился. Не надо ортогональности, наличия нормальной компоненты достаточно.

Mathusic в сообщении #384127 писал(а):

Что значит "посадим"?

То же, что и "уложим".

[Mathusic]

caxap в сообщении #384125 писал(а):

Я, как наивный человек, полагал, что если в 3-х измерениях две плоскости пересекаются по прямой, то добавление нового измерения ничего не изменит

А почему вы решили, что изменит?

[Утундрий]

Mathusic в сообщении #384131 писал(а):

Я вот не пойму

caxap в сообщении #384125 писал(а):

как обычно, ничего не понял

Гм, что-то много вас...

4-мерие есть. Точку отметили. Косоугольный базис четырьмя направлениями построили. На двух плоскость построили и зафиксировали ее. Нет больше прежней вольготности векторам, только в плоскости сей обретаться могут. Да и за двумя другими следим, дабы в плоскость отмеченную не уложились. Далее - как сказано было.

P.S. Это так, в общем. А если цель лишь ответ на вопрос 1) дать, то вторую пару тупо ортогонально первой и вот оно - по точке одной пересечение.

[Mathusic]

Утундрий в сообщении #384136 писал(а):

4-мерие есть. Точку отметили. Косоугольный базис четырьмя направлениями построили. На двух плоскость построили и зафиксировали ее. Нет больше прежней вольготности векторам, только в плоскости сей обретаться могут. Да и за двумя другими следим, дабы в плоскость отмеченную не уложились. Далее - как сказано было.

Простите, вы пост 6 читали?

[Утундрий]

Утундрий писал(а):

Возьмем, например, 2-плоскость и посадим на ней два касательных и два нормальных вектора так, чтобы все 4 образовывали базис.

Mathusic писал(а):

А геоминтерпретация такая. Берём плоскость (2-ва ур-я), проводим прямую пересекающую плоскость в точке. Берём у этой прямой направляющий вектор и добавляем к нему четвёртый вектор, не лежащий в трёхмерном пространстве...

Эй, а я знаю эту игру! Найди десять отличий называется...

[paha]

caxap в сообщении #384125 писал(а):

Я, как наивный человек, полагал, что если в 3-х измерениях две плоскости пересекаются по прямой, то добавление нового измерения ничего не изменит (аналогия была следующая: две прямые на плоскости пересекаются в точке, а после добавления 3-го измерения, они так в той точке и продолжают пересекаться).

в четырехмерном пространстве две прямые вообще не пересекаются (в общем положении)

Об этом надо думать так: пусть имеются 2 прямые на плоскости. Если мы их тихооонечко пошевелим, то они пересекутся... для пары прямых на плоскости не пересекаться -- неустойчивое свойство
пусть имеются прямые в трехмерном пространстве. Если мы их тихооонечко пошевелим , то они не будут пересекаться... для прямых в пространстве пересекаться -- неустойчивое свойство

-- Пн дек 06, 2010 20:48:06 --

конечно, в четырехмерном пространстве есть пары плоскостей, пересекающихся по прямой... но от этого можно избавиться малым шевелением плоскостей