Система аксиом фон Нёймана

[Виктор Викторов]

"$(Aa)[(f, a)] = [g, a] \supset f = g]$" Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 129. Это примечание редактора перевода А. С. Есенина-Вольпина. Под $A$ здесь понимается $\forall$. В этой формуле нечётное количество скобок. Я думаю, что это опечатка и должно быть $(Aa)[(f, a) = [g, a] \supset f = g]$. Проверьте, пожалуйста. А вот и весь кусок с заменой $A$ на $\forall$ и изъятием "подозрительной" скобки.

"Формулировка системы аксиом фон Нёймана такова:
Имеется два рода вещей: I-вещи и II-вещи, которые обозначаются ниже буквами $a, b, c,...$ и $f, g, h,...$ соответственно; кроме того, имеются две различные вещи $A$ и $B$ и две операции $[x, y]$ и $(x, y)$, где $x, y,...$ могут обозначать вещи любого рода. Посредством $x, y,...$ обозначаются ниже I-II-вещи. В группе I — 4 аксиомы: 1. $A$ и $B$ суть I-вещи; 2. $[x, y]$ имеет смысл тогда и только тогда, когда $x$ есть II-вещь, а $y$ — I-вещь, и притом $[x, y]$ является всегда I-вещью; 3. $(x, y)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ суть I-вещи и притом $(x, y)$ является всегда I-вещью; 4. $(\forall a)[(f, a) = [g, a] \supset f = g]$." Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 129. Примечание редактора перевода А. С. Есенина-Вольпина.

Теперь вопросы по существу:
1. "$(x, y)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ суть I-вещи" I-вещи обозначаются буквами $a, b, c,...$, но "$(\forall a)[(f, a) = [g, a] \supset f = g]$" где $f$ I-вещь, а $f, g, h,...$ обозначения для II-вещи. Как вылезать из этого противоречия?
2. $(\forall a)[(f, a) = [g, a] \supset f = g]$ — это аксиома объёмности в исполнении фон Нёймана, но равенство $f = g$ есть равенство I-вещи и II-вещи. Можно ли рассматривать эту аксиому также как введение I-II-вещи?

[Xaositect]

Я подозреваю, что формула должна быть такой: $\forall a ([f, a] = [g, a]) \to f = g$. Здесь $f$ и $g$ - это II-вещи, а $a$ и $b$ - I-вещь.

I-II-вещи - это те вещи, которые являются одновременно I- и II-вещами, см. напр. аксиому II.5

Насколько я понял после беглого взгляда, содержательно I-вещи - это объекты, из которых могут состоять множества, II-вещи - соответствия ("функции") I-вещей, $[f, a]$ - это объект, который сопоставляется объекту $a$ соответствием $f$, $(a,b)$ нужны для составления кортежей, области - это собственные классы (или, что то же самое, предикаты - каждая I-вещь либо принадлежит, либо не принадлежит ему, $A$ и $B$ - булевские значения), а I-II-вещи - это, получается, множества, как там и написано.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #383999 писал(а):

"$(x, y)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ суть I-вещи" I-вещи обозначаются буквами $a, b, c,...$, но "$(\forall a)[(f, a) = [g, a] \supset f = g]$" где $f$ I-вещь, а $f, g, h,...$ обозначения для II-вещи. Как вылезать из этого противоречия?

Xaositect в сообщении #384025 писал(а):

Я подозреваю, что формула должна быть такой: $\forall a ([f, a] = [g, a]) \to f = g$. Здесь $f$ и $g$ - это II-вещи, а $a$ и $b$ - I-вещь.

Думаю, что Вы правы. Так формула имеет смысл. Традиционное спасибо. А где можно почитать про аксиомы фон Нёймана подробнее?

[Xaositect]

Виктор Викторов в сообщении #384039 писал(а):

Думаю, что Вы правы. Так формула имеет смысл. Традиционное спасибо. А где можно почитать про аксиомы фон Нёймана подробнее?

Не знаю, в таком виде, в котором они приведены в указанном Вами примечании, я их раньше не видел. Мб стоит поискать оригинальные работы фон Неймана.

[Виктор Викторов]

Интересно, а в каком виде Вы видели аксиомы фон Нёймана (и, конечно, вопрос где)? Попробую и поискать оригинальные работы фон Неймана.

[Xaositect]

Виктор Викторов в сообщении #384048 писал(а):

Интересно, а в каком виде Вы видели аксиомы фон Нёймана (и, конечно, вопрос где)? Попробую и поискать оригинальные работы фон Неймана.

Где-то мимоходом попадались, я в свое время просмотрел много книг по мат.логике. Но там явно было сказано, что это функции, и вообще выглядело более понятно.

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #384054 писал(а):

Но там явно было сказано, что это функции, и вообще выглядело более понятно.

Здесь тоже понятно, но рой опечаток. Я позже ещё добавлю.