Предел последовательности

[nevero]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста доказать, что придел данной последовательности при $n \to +\infty$ равен 0.
$a_n=\frac{|k(k-1)...(k-n+1)|}{n!}$, где $-1 < k < 0$.
У меня получается доказать, что данная последовательность монотонно убывает. При условии, что она ограничена снизу 0, получаем, что последовательность сходится. Но как доказать, что именно к 0?

-- Вс дек 05, 2010 12:48:59 --

Как доказать, что точная нижняя грань - тоже 0?

[Null]

$a_n=\frac{|k|(|k|+1)...(|k|+n-1)}{n!}$

$a_{n+1}/a_{n}=\frac{|k|+n}{1+n}=1-\frac{1-|k|}{1+n}<e^{-\frac{1-|k|}{1+n}}$

[nevero]

Null в сообщении #383767 писал(а):

$a_n=\frac{|k|(|k|+1)...(|k|+n-1)}{n!}$

Почему так?
Мне кажется, что верно будет:
$a_n=\frac{|k|(1-k)...(n-1-k)}{n!}$ при $-1 < k < 0$.

[Null]

Они равны.

[nevero]

nevero в сообщении #383773 писал(а):

Они равны.

Да верно, не заметил...

Null в сообщении #383782 писал(а):

$a_{n+1}/a_{n}=\frac{|k|+n}{1+n}=1-\frac{1-|k|}{1+n}<e^{-\frac{1-|k|}{1+n}}$

А почему из этого неравенства следует, что предел равен 0? На основе чего, а то я что-то не понимаю....

[nevero]

Так всё таки как доказать, что предел равен 0?

[bot]

Умножьте неравенство на $a_n$ и внимательно на него посмотрите. Вы ведь уже знаете, что предел существует.

[nevero]

bot в сообщении #383988 писал(а):

Умножьте неравенство на $a_n$ и внимательно на него посмотрите. Вы ведь уже знаете, что предел существует.

Всё равно не могу понять почему... Вижу только лишнее подтверждение факта, что последовательность убывает...

[ewert]

Перемножьте эти экспоненты -- получите в показателе гармонический ряд.

[nevero]

ewert в сообщении #384167 писал(а):

Перемножьте эти экспоненты -- получите в показателе гармонический ряд.

Перемножил:
$a_{n+1} < e^{-(1-|k|)(\frac{1}{1+n}+\frac{1}{n}+...+1)}a_1 < e^{-(1-|k|)(\frac{1}{1+n}+\frac{1}{n}+...+1)}|k|$
Только какой толк от оценки сверху для убывающей последовательности? Совсем не пойму какой вывод надо сделать...

[ИСН]

Гармонический ряд. Стремится. К чему.

[nevero]

ИСН в сообщении #384197 писал(а):

Гармонический ряд. Стремится. К чему.

Точно, гармонический ряд расходится, то есть стремится к бесконечности, поэтому получилось "зажать ряд $a_n$" между нулями.

[bot]

nevero в сообщении #384085 писал(а):

bot в сообщении #383988 писал(а):

Умножьте неравенство на $a_n$ и внимательно на него посмотрите. Вы ведь уже знаете, что предел существует.

Всё равно не могу понять почему... Вижу только лишнее подтверждение факта, что последовательность убывает...

Умножаем, получаем $0<a_{n+1}<a_ne^{-\frac{1-|k|}{1+n}}$. Пусть $a=\lim a_n$ - имеем право, ибо знаем, что предел существует. Переходим к пределу в неравенствах, на которые внимательно посмотрели, и получаем $0\leqslant a \leqslant a\cdot 0=0$

Можно без домножения, но тогда от противного: предположим, что $a\ne 0$. Тогда, переходя к пределу, получим ...

[ewert]

bot в сообщении #384362 писал(а):

$0<a_{n+1}<a_ne^{-\frac{1-|k|}{1+n}}$. Пусть $a=\lim a_n$ - имеем право, ибо знаем, что предел существует. Переходим к пределу в неравенствах, на которые внимательно посмотрели, и получаем $0\leqslant a \leqslant a\cdot 0$

Ну так дёшево это не делается, естественно (сходимость-то весьма медленная). Откуда самый правый нолик-то?...

[bot]

ewert в сообщении #384401 писал(а):

Откуда самый правый нолик-то?...

Как откуда? По условию $|k|<1$ и значит $\frac{|k|-1}{n+1}\to -\infty$

-- Вт дек 07, 2010 07:35:31 --

Тьфу, какую глупость написал!