Бесконечно порядочное диф. ур-ие, решить?

[Борис Лейкин]

Решить:
$\frac{d^{\infty}y}{dx^{\infty}}=x$
$\frac{d^{\infty}y}{dx^{\infty}}=y$

Первое я почти решил: $y(x)=\frac{x^{\infty+1}}{\infty+1}+$ плюс ещё, я думаю, почти любая функция, кроме $e^{p(x)}$, т.к. $\frac{d^{\infty}(e^x)}{dx^{\infty}}=e^x$.

[незваный гость]

Ну ладно, забудем про решение. Давайте зададимся вопросом: а какие условия задачи? Что такое $\frac{{\rm d}^{\infty}y}{{\rm d}x^{\infty}}$? Бесконечная производная — это пустые слова, пока мы не определили, что это такое.

Например, $\frac{{\rm d}^{1}y}{{\rm d}x^{1}}$ это производная (база нашего индуктивного определения). $\frac{{\rm d}^{n+1}y}{{\rm d}x^{n+1}} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\frac{{\rm d}^{n}y}{{\rm d}x^{n}}$ — индуктивный переход. Таким образом, мы имеем определение для любого конечного $n$. А что такое для бесконечного? Предел, как это обычно бывает?

Любопытно. Тогда мы ищем бесконечно-дифференцируемые функции, удовлетворяющие некоторому уравнению.

[Brukvalub]

Борис Лейкин писал(а):

:mrgreen:
Решить:
$\frac{d^{\infty}y}{dx^{\infty}}=x$
$\frac{d^{\infty}y}{dx^{\infty}}=y$

Первое я почти решил: $y(x)=\frac{x^{\infty+1}}{\infty+1}+$ плюс ещё, я думаю, почти любая функция, кроме $e^{p(x)}$, т.к. $\frac{d^{\infty}(e^x)}{dx^{\infty}}=e^x$.

Ну, а со вторым все совсем просто- достаточно заметить, что это уравнение с бесконечно разделяющимися переменными.

[ГАЗ-67]

Позволю себе заметить , что
$\frac{d^{\infty+1}y}{dx^{\infty+1}}=\frac{d^{\infty}y}{dx^{\infty}}=x
и далее очевидно :
$\frac{dy}{dx}=x
и т.д.
P.S. Два дня набирал эти формулы , руки вывихнул

[ГАЗ-67]

Ох , виноват , намудрил

[незваный гость]

$\frac{\rm d}{{\rm d}x}\frac{{\rm d}^\infty y}{{\rm d}x^\infty} = \frac{\rm d } {{\rm d}x} x = 1 \Rightarrow$ $\frac{{\rm d}^{\infty+1} y}{{\rm d}x^{\infty+1}} =1$. Но $\frac{{\rm d}^{\infty+1} y}{{\rm d}x^{\infty+1}} =\frac{{\rm d}^\infty y}{{\rm d}x^\infty}$. Противоречие, однако

[Brukvalub]

незваный гость писал(а):

:evil:
$\frac{\rm d}{{\rm d}x}\frac{{\rm d}^\infty y}{{\rm d}x^\infty} = \frac{\rm d } {{\rm d}x} x = 1 \Rightarrow$ $\frac{{\rm d}^{\infty+1} y}{{\rm d}x^{\infty+1}} =1$. Но $\frac{{\rm d}^{\infty+1} y}{{\rm d}x^{\infty+1}} =\frac{{\rm d}^\infty y}{{\rm d}x^\infty}$. Противоречие, однако

Аналогично для второго уравнения: $\frac{{d^{\infty + 1} y}}{{d^{\infty + 1} x}} = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d^\infty y}}{{d^\infty x}} = y \Rightarrow y = Ce^x $ - и подстановка показывает, что найденная фунуция действительно является решением.

[ГАЗ-67]

На мой взгляд противоречия нет . Бесконечность плюс 1 остается бесконечностью . Такой подход мне встречался в литературе , решались функциональные ур-я . Видимо , первое ур-е несовместно , а , может быть , ине являктся д.у. , т.к. не всякое равенство , содержащее функции и их производные является д.у.
Ну конечно же
$\frac{\rm d}{{\rm d}x}\frac{{\rm d}^\infty y}{{\rm d}x^\infty} = \frac{\rm d } {{\rm d}x} x = 1 \Rightarrow$ $\frac{{\rm d}^{\infty+1} y}{{\rm d}x^{\infty+1}} =1$. Виноват , очепатка .

[незваный гость]

ГАЗ-67 писал(а):

На мой взгляд противоречия нет . Бесонечность плюс 1 остается бесконечностью .

Ага. И $x=1$.