Функан, полугруппы операторов, диссипативные операторы

[id]

Известно, что $A$ - инфинитезимальный оператор $C_0$-полугруппы операторов $(T(t))_{t \geq 0}$, действующих в гильбертовом пространстве $X$ ( как следствие, это замкнутый оператор со всюду плотной областью определения $D(A)$; для него определен (гильбертово) сопряженный оператор $A^*$, который так же замкнут и обладает всюду плотной областью определения). (Определение C_0 полугруппы операторов на всякий случай тут)

Дано, что $A$ - диссипативный оператор, т.е. выполнены эквивалентные условия
i) $\forall x \in D(A) \ \ \mathrm{Re} <Ax,x> \leq 0$
ii) $\forall x \in D(A) \ \ \| (\alpha I - A) x\| \geq \alpha \| x \|$ для любого $\alpha >0 $

Хочется показать любое из условий ниже
1) $A^*$ - диссипативный
2) $\mathrm{Im} (I-A)$ всюду плотно
3) $A^*$ не имеет положительных собственных значений

(Оффтоп)

(из любого условий выше вместе с диссипативностью инфинитезимального оператора $A$ будет следовать, что полугруппа состоит из сжимающих операторов, а меня это как раз интересует)

Попытался получить 1) в след. манере:
$\forall y \in D(A^*) \ \ <A^* y,y> = \overline{<y,A^* y>} = \overline{f_y(y)}$, $f_y$- соотв. линейный непрерывный функционал. Т.к. $D(A)$ плотно, выбираем $\{y_n\}_n \subset D(A): \ y_n \to y$; в силу непрерывности имеем $\overline{f_y(y)} = \lim\limits_n \overline{f_y(y_n)} = \lim\limits_n \overline{<A y_n,y>}$
А вот дальше неприятность. Даже если написать $<A y_n,y> = <A y_n , y_n +y - y_n> = <A y_n , y_n> + <A y_n, y-y_n>$ и попытаться перейти к пределу, ничего вроде не выйдет: не получается устремить $<A y_n, y-y_n>$ к нулю, по крайней мере оценкой из Коши-Буняковского (ведь $A$ не обязательно ограничен!)

Как же доказать любое из условий 1-3 выше?

[sup]

Если бы $A$ был ограниченным оператором, то проблем бы не было. Ну или если бы области определения $A$ и $A^{*}$ совпадали. Ну или хотя бы их пересечение было "достаточно широким".
Ну так и попробуем свести все это к ограниченным операторам.
Рассмотрим оператор $B=1+A^{*}A$, с естественной областью определения.
Положим $Q=B^{-1}A}$.
Покажите, что:
1. $B$ - взаимнооднозначный оператор НА $X$.
2. $B$ - симметричный оператор с плотной областью определения.
3. $Q$ может быть продолжен до непрерывного на всем $X$.
4. На области определения $B$ имеет место равенство $A^{*}=Q^{*}B$.
5. На области определения $B$ $<A^{*}y,y> \leqslant 0$.
6. Область определения $B$ плотна в области определения $A^{*}$ в норме графика.
Ну а дальше уже все просто.
Надеюсь, основная идея понятна. По идее, надо бы рассматривать $\sqrt{Q}$. Тогда и области определения глядишь бы совпали ... Но, вроде бы и так проходит.

-- Чт дек 02, 2010 13:01:15 --

Виноват, вместо $\sqrt{Q}$ имелось в виду $\sqrt{B}$.

[id]

Интересно, в этом направлении не думал.

А почему выполнено 5?

[sup]

Должен повиниться, в спешке напутал со звездочками. Вспомнилось одно представление для операторов коммутирующих со своим сопряженным. В спешке не перепроверил. Ошибка в пункте 3. Но есть и хорошие новости. Все уже украдено до нас.
Крейн (справочник по функциональному анализу стр. 232):
1. Диссипативный оператор максимально диссипативен, если он не допускает нетривиальных диссипативных расширений.
2. Оператор максимально диссипативен если и только если для любого $\lambda, Re\lambda > 0$ область значений $A-\lambda I$ совпадает со всем пространством.
3. Для этого необходимо и достаточно, чтобы $Re(A^{*}y,y) \leqslant 0$.
4. Для того чтобы линейный оператор $A$ был производящим оператором полугруппы с $C_0$-условием, необходимо и достаточно, чтобы ....
... имел спектр, лежащий в полуплоскости $Re\lambda \leqslant \omega$, и резольвенту .........
Это утверждение теоремы Хилле-Иосида-Филлипс (см. например, Данфорд, Щварц)
Так что Ваше утверждение вроде как должно вытекать из этих теорем.

[id]

Да, спасибо.

Что-то вроде этого и вправду есть. Чтобы $\mathrm{Im} (I-A)$ было равно $X$ достаточно, чтобы хотя бы для одного $\alpha>0$ выполнялось $\mathrm{Im} (\alpha I - A)$ равно $X$, а это так для достаточно больших $\alpha$ (это следует из одной из теорем про резольвентные мн-ва инфинитезимального оператора).