Деление с остатком многочленов...

[dnoskov]

... я люблю деление с остатком

Пусть для многочлена $f(x)$ выполнено $f(a)=r_1, f(b)=r_2$. Найдите остаток от деления этого многочлена на $(x-a)(x-b)$:

а) $f(2)=-3, f(-5)=4$

Значит так, известно, что:
$f(x)=(x-a)\cdot q_1(x) + f(a)$
$f(x)=(x-b)\cdot q_2(x) + f(b)$

Значит, наверное: $f(x)=(x-a)(x-b)\cdot q_3(x) + r(x)$


Имеем:
$f(x)=(x-2)\cdot q_1(x) - 3$, что странно, наверное, ибо остаток, как мне кажется, отрицательным быть, как правило, не должен, но раз так, то: $f(x)=(x-2)\cdot (q_1(x)-1) + (q_1(x)-3)$

$f(x)=(x+5)\cdot q_2(x) + 4$

И дальше не вижу, куда двигаться.

Ну, т.е. "мой успех в этом деле" $\rightarrow 0$

Пните, пожалуйста, куда надо.

[mkot]

Я бы сюда вместо $x$ подставил бы $a$ потом $b$:

dnoskov в сообщении #382534 писал(а):

Значит, наверное: $f(x)=(x-a)(x-b)\cdot q_3(x) + r(x)$

А затем ещё бы записал бы условие на степень остатка.

[dnoskov]

Цитата:

А затем ещё бы записал бы условие на степень остатка.

Это в смысле: ..., где $r(x)=a_1x+a_0$?

[mkot]

dnoskov в сообщении #382578 писал(а):

Цитата:

А затем ещё бы записал бы условие на степень остатка.

Это в смысле: ..., где $r(x)=a_1x+a_0$?

ага

[Joker_vD]

(Оффтоп)

dnoskov в сообщении #382534 писал(а):

... я люблю деление с остатком

Это вы пока что в кольце $K[x_1, x_2, \dots, x_n]$ не пытались делить

[dnoskov]

Так. Ну, и, стало быть, получаем: $\left\{\begin{array}{1}a_1\cdot 2+a_0=-3,\\a_1\cdot (-5) + a_0 = 4\end{array} \right. $, откуда мы найдём $a_1=a_0=-1$.
Т.е. теперь можно написать: $f(x)=(x-a)(x-b)\cdot q(x) -x -1$

Значит, выходит, что $r(x)=-x-1$? А я думал, что нужно численное решение. Или это "ещё не всё"/"совсем не то" (нужное подчеркнуть)?

[mkot]

dnoskov в сообщении #382598 писал(а):

Т.е. теперь можно написать: $f(x)=(x-a)(x-b)\cdot q(x) -x -1$

Кто такие $a$ и $b$ здесь?

dnoskov в сообщении #382598 писал(а):

Значит, выходит, что $r(x)=-x-1$? А я думал, что нужно численное решение. Или это "ещё не всё"/"совсем не то" (нужное подчеркнуть)?

Ну, если нет ошибок в арифметике, то это то, что надо. Остаток же нашли? Нашли. Что ещё надо?

[dnoskov]

mkot

Цитата:

Кто такие $a$ и $b$ здесь?

Ну как? Эти вот: "...дите остаток от деления этого многочлена на $(x-a)(x-b)$:"

В $f(x)=(x-a)(x-b)\cdot q_3(x) + r(x)$ нам был неизвестен остаток $r(x)$, который мы и нашли. Т.е. ещё раз сначала:

Пусть для многочлена $f(x)$ выполнено $f(a)=r_1, f(b)=r_2$. Найдите остаток от деления этого многочлена на $(x-a)(x-b)$:

а) $f(2)=-3, f(-5)=4$

Нужно найти остаток от деления на $(x-a)(x-b)$, стало быть, имеем:
$f(x)=(x-a)(x-b)\cdot q(x) + r(x)$, где $r(x)=a_1x+a_0$ - многочлен первой степени, т.к. $(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$ - многочлен второй степени.

По теореме Безу (и благодаря подсказке mkotа): \noindent $f(a)=(a-a)(a-b)\cdot q(a) + r(a)=0+r(a)=r(a), \\f(b)=(b-a)(b-b)\cdot q(b) + r(b)=0+r(b)=r(b)$

$f(2)=-3, f(-5)=4 \Rightarrow \\ \Rightarrow f(x)=(x-2)\cdot q(x) + f(2), f(x)=(x+5)\cdot q(x) + f(-5)$, откуда нас интересуют $f(2)$ и $f(-5)$.

Итак, $f(2)=r(2)=2a_1+a_0=-3, \; f(-5)=r(-5)=-5a_1+a_0=4$. Получаем $a_1=a_0=-1$.
И $r(x)=-x-1$. \; \blacksquare

Цитата:

Ну, если нет ошибок в арифметике, то это то, что надо. Остаток же нашли? Нашли. Что ещё надо?

Да нет, вроде ничего. Просто я не сразу вспомнил про степень остатка, т.е. про то, что она должна быть меньше степени делителя. Но это же не говорит о том, что степень должна быть нулевой.

Спасибо Вам за помощь!

[mkot]

mkot в сообщении #382685 писал(а):

dnoskov в сообщении #382598 писал(а):
Т.е. теперь можно написать: $f(x)=(x-a)(x-b)\cdot q(x) -x -1$

Кто такие $a$ и $b$ здесь?

Я спросил это к тому, что нужно писать либо
$f(x)=(x-2)(x-(-5))\cdot q(x) -x -1$,
либо
$f(x)=(x-a)(x-b)\cdot q(x) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}x + f(a) - a\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

То есть либо везде буквы, либо их нигде нет.

[dnoskov]

mkot

Цитата:

То есть либо везде буквы, либо их нигде нет.

Спасибо! Вот именно таких советов порой и не хватает. А ни одной книги с подобным содержанием я пока не видел, ведь порой так хочется узнать: "А как "обычно" делают"...

... хотя, конечно, большинство таких советов следует автоматически из здравого смысла...