Высоты и биссектрисы

[Sasha2]

Вот есть такая задача:
В данный треугольник вписан круг.
Точки касания соединим и в полученном таким образом треугольнике проведем высоты.
На основаниях этих высот построим еще один (третий треугольник).
Показать, что стороны этого третьего треугольника параллельны сторонам исходного треугольника.

У автора какое-то мутное решение. У меня другое вот такое решение. Проверьте пожалуйста.

Нетрудно видеть, что биссектрисы исходного треугольника и высоты второго параллельны, так как биссектриса какого-либо угла исходного треугольника является серединным перпендикуляром к стороне стягивающей точки касания на сторонах этого угла (по теорем о равенстве отрезков касательных из одной точки...). А три высоты этого второго треугольника просто перпендикулярны этим сторонам. Отсюда и следует это.
Ну и наконец три данные высоты явлются биссектрисами треугольника, построенного на их основаниях.
Отсюда получаем, что в первом и в третьем треугольнике биссектрисы параллельны между собой.
А значит и все углы первого треугольника равны углам третьего.
Выполнив необходимы параллельный перенос убеждаемся в параллельности указанных сторон.