Дифференцируемость нормы в пространстве функций

[dzh0rdzh1]

Помогите, пожалуйста, доказать следующее утверждение. Пусть $C([0,1])$ - банахово пространство непрерывных функций на отрезке, с нормой $\|x\|=\max_{t\in [0,1]} |x(t)|.$ Утверждается, что отображение $x\rightarrow \|x\|$ квазидифференцируемо в тех и только тех точках $x,$ в которых максимум $\max_{t\in [0,1]} |x(t)|$ достигается ровно в одной точке. Квазидифференцируемость нормы в точке $x$ означает, что существует линейный непрерывный функционал $L$ на $C([0,1]),$ такой что для произвольного отображения $g:[0,1]\rightarrow C([0,1]),$ равного $x$ в нуле и дифференцируемого в нуле, функция $t\rightarrow \|g(t)\|$ имеет в нуле производную, равную $L(g'(0)).$ Необходимость проверяется просто, а с достаточностью проблемы.

[moscwicz]

фактически надо доказать, что если функция $x(u)\in C[0,1]$ имеет единственный максимум на отрезке $[0,1]$ в точке $\xi$, то для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что все точки в которых достигается максимум функции $y\in B_x(\delta)$ ($B_x(\delta)$ -- шар пространства $ C[0,1]$ с центром в $x$и радиусом $\delta$)содержится в интервале $(\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon)$.

Предположим противное...

[dzh0rdzh1]

Это я уже проверял. Но не ясно, как из этого результата получить квазидифференцируемость
пусть $g:[0,1]\rightarrow C([0,1]), \ g(0)=x, \ \exists g'(0), x(\xi)=\|x\|>0.$ Хочется, чтобы
$\frac{\|g(t)\|-\|x\|}{t}=\frac{g(t)(\xi(t))-g(0)(\xi)}{t}\rightarrow g'(0)(\xi), \ t\rightarrow 0.$
верно следующее: $\frac{g(t)(\xi(t))-g(0)(\xi(t))}{t}\rightarrow g'(0)(\xi), \ t\rightarrow 0.$ почему $\frac{g(0)(\xi(t))-g(0)(\xi)}{t}\rightarrow 0?$

[moscwicz]

$\|g(t)\|-\|g(0)\|=\|g(0)+g'(0)(t)+o(t)\|-\|g(0)\|=\|x(\cdot)+t\psi(\cdot)+o(t)\|-\|x(\cdot)\|$, где $ \psi\in C[0,1]$ некоторая функуия.
$\|x(\cdot)+t\psi(\cdot)+o(t)\|=x(w)+t\psi(w)+o(t)(w)$ причем, в силу сформулированного утверждения, $w\to \xi$ при $t\to 0,\quad \|x(\cdot)\|=x(\xi)$

Далее немного неформально: наплюем на $o(t)$

Пусть максимум $x(u)+t\psi(u)$ достигается в точке $w$. Тогда
$x(\xi)+t\psi(w)\ge x(w)+t\psi(w)\ge x(\xi)+t\psi(\xi)$
отсюда при $t>0$

$$\psi(w)\ge\frac{x(w)-x(\xi)}{t}+\psi(w)\ge\psi(\xi)$$

ИТОГО:
$$\frac{x(w)-x(\xi)}{t}\to 0$ при $t\to 0$

[dzh0rdzh1]

ну да, этого замечания и не хватало..
спасибо!