Прошу помощи, форумчане!

[romanz]

Пусть $x_1,x_2,\ldots,x_n$ - корни алгебраического уравнения с действительными коэффициентами, причем модуль действительного корня $x_1$ больше модулей всех остальных корней. Как доказать, что $\underset{m\rightarrow\infty}{\text{lim}}\frac{\sum_{\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_n=m}\left(\frac{x_1}{x_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot \left(\frac{x_n}{x_1}\right)^{\alpha_n}}{\sum_{\beta_1+\beta_2+\ldots+\beta_n=m-1}\left(\frac{x_1}{x_1}\right)^{\beta_1}\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot \left(\frac{x_n}{x_1}\right)^{\beta_n}}=1$

[Gortaur]

А если вынести $x_1$ и оценить? Кстати, показатели степени положительные? и вообще, как Вы понимаете эту суммцу?

[romanz]

Да, все степени являются неотрицательными целыми числами.

[ИСН]

"корни алгебраического уравнения с действительными коэффициентами" - зачем так длинно, почему не сказать просто "любые числа"?

[Gortaur]

Кстати, почему это действительный корень существует?

[ИСН]

короче всё просто
сверху стоит сумма 1, потом $y_1+...+y_{n-1}$ (это всё числа, строго меньшие 1 по модулю), потом сумма их попарных произведений, а также произведений по 3, по 4 штуки, и так далее до m.
снизу - только до m-1.
хвост мал.

[Gortaur]

хвост мал - замечательный аргумент, практически весь анализ бесконечно малых в двух словах :) можно поставить памятник бесконечно малому хвосту (хотя невозможно проверить, что его до сих пор нет)

[maxal]

romanz
Сначала упростите выражения для числителя и знаменателя, сведя к производящим функциям. Затем используйте разложение на простейшие дроби для нахожения нужных коэффициентов.

[romanz]

Всем большое спасибо!

[romanz]

Пусть в симметрическом многочлене
$p_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_n=m}x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot x_n^{\alpha_n},\,\,m=1,2,\ldots$
переменная $x_{i_1},$ имеет кратность
$n_1,$ и т.д. переменная $x_{i_s}$ --- кратность $n_s$,
Тогда для каждого набора $(n_1,n_2,\ldots,n_s)$ такого, что $n_1+n_2+\ldots+n_s=n,$ это равенство примет вид
$q_m(x_{i_1},x_{i_2},\ldots,x_{i_s})=\sum_{\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_s=m} \frac{n_1^{\overline{\alpha_1}}}{\alpha_1!}\frac{n_2^{\overline{\alpha_2}}}{\alpha_2!}\cdot\ldots\cdot \frac{n_s^{\overline{\alpha_s}}}{\alpha_s!}x_{i_1}^{\alpha_1}x_{i_2}^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot x_{i_s}^{\alpha_s},$
где $m=1,2,\ldots.$

Если модуль $x_{i_1}$ больше всех модулей остальных переменных, то также справедливо равенство

$$\underset{m\rightarrow\infty}{\text{lim}}\frac{q_m(x_{i_1},x_{i_2},\ldots,x_{i_s})}{q_{m-1}(x_{i_1},x_{i_2},\ldots,x_{i_s})}=x_{i_1}.$$

.
Здесь также хвост мал, но это не совсем очевидно.
Производящую функцию $\Pi_{j=1}^s\frac{1}{(1-x_{i_j}z)^n_{j}}$ на элементарные дроби разложить сложно даже при $s=2.$ Что делать дальше?

[maxal]

romanz в сообщении #385311 писал(а):

Производящую функцию $\Pi_{j=1}^s\frac{1}{(1-x_{i_j}z)^n_{j}}$ на элементарные дроби разложить сложно даже при $s=2.$ Что делать дальше?

Подумайте, а нужно ли вам разложение в явном виде, не достаточно ли лишь знания о его существовании...

[romanz]

В предыдущем случае я разлагал и там все хорошо получилось.
А тут прошу еще одну подсказку.

[maxal]

romanz
Это и была подсказка. Подумайте, что именно вам нужно от разложения на простейшие дроби.

[romanz]

В предыдущем случае разложение на простейшие дроби помогло мне заменить сумму по разбиениям обычной суммой. Я нашел коэффициент при $z^m$. Он оказался равным

$$\sum_{i=1}^n\frac{x_i^{m+n-1}}{(x_i-x_1)\cdot\ldots\cdot(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdot\ldots\cdot(x_i-x_n)}.$$

Дальше уже все было просто.

[romanz]

Разве что так: $j$ -тым слагаемым разложения будет
дробь $\frac{a_{0j}+a_{1j}z+\ldots+a_{n_{j}-1,j}z^{n_{j}-1}}{(1-x_{i_{j}}z)^{n_{j}}}$. Поскольку $\frac{1}{(1-x_{i_{j}}z)^{n_{j}}}=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{n_j^{\overline{k}}}{k!}x_{i_j}^kz^k$, то коэффициент возле $z^m$ в этом слагаемом равен $\sum_{k=0}^{n_j-1}\frac{n_j^{\overline{m-k}}}{(m-k)!}x_{i_j}^{m-k}a_{kj}$ и аналогичный коэффициент во всем разложении на простейшие дроби равен $\sum_{j=1}^s$\sum_{k=0}^{n_j-1}\frac{n_j^{\overline{m-k}}}{(m-k)!}x_{i_j}^{m-k}a_{kj}$. А дальше, при переходе к пределу при $m\rightarrow \infty$ пользоваться независимостью коэффициентов $a_{kj}$ от $m$

Но разве для читателя это будет очевиднее?