Олимпиадный предел

[VSSISTU]

Вот интересная задачка с нашей олимпиады

$$\lim_{n\to \infty }(\frac{1}{n^4}\prod\limits_{i=1}^{2n} (n^2 + i^2 )^\frac{1}{n} ) $$

Инетересно кто как будет решать, я ее до конца не решил, прологарифмировал а там запутался

[Руст]

$$\lim_{n\to \infty }(\frac{1}{n^4}\prod\limits_{i=1}^{2n} (n^2 + i^2 )^\frac{1}{n} )=\lim_{n\to \infty }exp(\frac 1n \sum_{i=1}^{2n}\ln(1+\frac{i^2}{n^2}))=exp(\int_0^2 \ln(1+x^2)dx) $$

Вычисляя интеграл по частям получается:
$\frac{25}{e^4}e^{2arctg 2}.$

[VSSISTU]

красиво и коротко, а авторское решение в жюри было слишком громоздким, спасибо за идею

[VSSISTU]

А вот еще один предел, но здесь я сомневаюсь на счет красивого решения у меня целая страница

$$ \lim_{n\to \infty } \sqrt{n} \int\limits_{-\infty }^{+\infty } \frac{cos(x)}{( 1+x^2 )^n } dx $$

[ИСН]

А чё тут делать-то

$$ \lim_{n\to \infty } \sqrt{n} \int\limits_{-\infty }^{+\infty } \frac{cos(x)}{( 1+x^2 )^n } dx = \lim_{n\to \infty } \int\limits_{-\infty }^{+\infty } \frac{cos(x/\sqrt{n} )}{( 1+x^2/n )^n } dx = \int\limits_{-\infty }^{+\infty } e^{-x^2} dx = \sqrt\pi$$

[VSSISTU]

гениально, спасибо, не буду преводит своего громоздкого решения Стыдно но радует, что ответ тот же

[VSSISTU]

А не могли бы вы пояснить каким образом вы внесли 1/n в скобку и такой переход от этой функции к интегралу Пуассона

[Brukvalub]

ИСН писал(а):

А чё тут делать-то

$$ \lim_{n\to \infty } \sqrt{n} \int\limits_{-\infty }^{+\infty } \frac{cos(x)}{( 1+x^2 )^n } dx = \lim_{n\to \infty } \int\limits_{-\infty }^{+\infty } \frac{cos(x/\sqrt{n} )}{( 1+x^2/n )^n } dx = \int\limits_{-\infty }^{+\infty } e^{-x^2} dx = \sqrt\pi$$

Это красивое решение, но законность предельного перехода под знаком интеграла требует специального обоснования, поскольку не всегда такой переход приводит к правильному результату.В частности, требование обоснования законности такого перехода составляет содержание близкой к Вашему решению задачи № 3776 из задачника Демидовича.

[VSSISTU]

А вот еще три задачки для разминки ума Хочется еще увидеть изящные решения
1. Найти массу пластинки:

$$ x^2 + y^2 \leqslant 1 , x + y \geqslant 1 , x\geqslant 0 , y\geqslant 0 $$

, если плотность распределения массы

$$ \gamma(x,y)=(x^4 + y^4)^{-1} $$

2. Решите уравнение: $$ x'(t)=x^2 (t) - 3(t^{-1} x(t) +t^{-2} )
3. Найдите решение уравнения

$$ \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} = u^2 (x,y) $$

вида $$ u=f(x)g(y), где f и g дифференцируемые \forall x,y\in R функции, причем

$$ u(0,0)=1, \frac{\partial u(0,0)}{\partial x} =1 $$

[ИСН]

Что как я внёс в скобку? Замена переменной на другую, связанную с ней коэффициентом пропорциональности \sqrt{n}. В силу лени новую переменную обозначил так же, x. Потом известный предел, \lim\limits_{n\to\infty}(1+a/n)^n=e^a. Перестановка предела и интеграла, которой я эдак absent-mindedly воспользовался, типа "всегда здесь валялась" - конечно же, если честно, требует обоснования.
Касательно новых. Начнём с номера 3. Подставив f*g вместо u и поделив на правую часть, невооружённым глазом видим, что общий вид такого решения - f(x)=const\cdot e^{x\cdot a},\ g(y)=const\cdot e^{y/a}, а искомое частное решение - u=e^{x+y}.

[Руст]

1. $m=\frac{1}{\sqrt 2}\ln(1+\sqrt 2)$.
2. $x=\frac 1t (1+\frac{2(1+Ct^4)}{1-Ct^4})$.
3. $u=e^{x+y}$.

[VSSISTU]

Все понятно, на счет 3 спасибо, я решал подобно, меня инетересует первое задание там такой странный двойной интеграл получается

[VSSISTU]

Руст а не могли бы вы рассказать немного поподробнее относительно первых двух

[Руст]

1. Решается в полярных координатах:

$$m=2\int_0^{\pi/4}\int_{1/\sqrt 2 cost}^1\frac{rdrdt}{r^4(1-cos^2{2t}/2}=\int_0^{\pi/4}\frac{2cos^2t-1}{1-cos^2 2t/2}=\int_0^1\frac{2dz}{1+z^2}=\pi/4$$

Оказалось ошибся раньше (написав sin2t вместе cos2t).
2. Перейдите к y=tx-1.

[Brukvalub]

Руст писал(а):

1. Решается в полярных координатах:

$$m=2\int_0^{\pi/4}\int_{1/\sqrt 2 cost}^1\frac{rdrdt}{r^4(1-cos^2{2t}/2}=\int_0^{\pi/4}\frac{2cos^2t-1}{1-cos^2 2t/2}=\int_0^1\frac{2dz}{1+z^2}=\arctg 2-\pi/4$$

Оказалось ошибся раньше (написав sin2t вместе cos2t)....

Нет ли ошибки в в знаменателе первого подинтегрального выражения? Ведь $\sin ^4 0 + \cos ^4 0 = 1 \ne 1 - \frac{1}{2}\cos ^2 (0) = \frac{1}{2}$