помогите взять интеграл (или доказать сходимость)

[semen-semenych]

Пожалуйста помогите справиться с этим интегралом.

$ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \, (1 - 2x^2y^2) \exp(-x^2y^2) \, dx \, dy $

по идее, он вроде должен сходиться, но если делать подстановку t = xy, то он разбивается на произведение, один множитель 0, второй расходиться. Куда копать? Если не взять, то хотя бы доказать, что интеграл сходится.

[ИСН]

Зачем и как Вы делаете эту замену, не понял. Интеграл берётся в лоб: сначала по одной переменной... а дальше, собственно, и всё.

[semen-semenych]

Хорошо, попробуем в лоб.

\int_{-\infty}^{+\infty} \, \exp(-x^2y^2) \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{y}

Так ?

\int_{-\infty}^{+\infty} \, x^2 \exp(-x^2y^2) \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2y^3}

И так?

И дальше

\int_{-\infty}^{+\infty} \, (\frac{\sqrt{\pi}}{y} - \frac{2\sqrt{\pi}y^2}{2y^3}) \, dy = 0

То есть вроде как 0. Но с другой стороны

Если таки сделать замену t = xy и скажем f = y/x, то интеграл распадается на произведение двух независимых, один из которых явно расходится:

(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{df}{f} ) \, (\int_{-\infty}^{+\infty} \, (1 - 2t^2) \exp(-t^2) \, dt)

Это-то и обескураживает. Где-то подвох, нет однозначности...

[Joker_vD]

semen-semenych в сообщении #379758 писал(а):

то интеграл распадается на произведение двух независимых, один из которых явно расходится:

Вы, в сущности, пишете $\lim\limits_{x \to 0} 1 = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} x$. Видать, вы в первом семестре не выучили теорему о пределе произведения: "Если существуют пределы сомножителей, то существует и предел их произведения, причем он равен произведению пределов сомножителей". А если пределов сомножителей не существует — это ничего не значит, как и показывает пример с пределом единицы.

[GAA]

semen-semenych в сообщении #379758 писал(а):

$\int_{-\infty}^{+\infty} \, \exp(-x^2y^2) \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{y}$
Так ?

Нет, ошибка в замене переменной интегрирования, должно быть $\int_{-\infty}^{+\infty} \, \exp(-x^2y^2) \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{|y|}$. Следовательно, и дальше неправильно. Но логика решения не изменится и значение двойного повторного интеграла рано нулю.

-- Ср 24.11.2010 07:45:19 --

semen-semenych в сообщении #379758 писал(а):

Если таки сделать замену t = xy и скажем f = y/x, то интеграл распадается на произведение двух независимых, один из которых явно расходится:
(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{df}{f} ) \, (\int_{-\infty}^{+\infty} \, (1 - 2t^2) \exp(-t^2) \, dt)

Неправильная замена в двойном интеграле.

Отредактировано 25.11.10: двойного заменено на повторного. / GAA

[ewert]

GAA в сообщении #379774 писал(а):

Неправильная замена в двойном интеграле.

Подумаешь, двойка в якобиане потеряна.

semen-semenych в сообщении #379758 писал(а):

Это-то и обескураживает. Где-то подвох, нет однозначности...

Никакого подвоха. Этот интеграл абсолютно расходится, поэтому при разных способах подсчёта может дать, в принципе, что угодно.

[GAA]

ewert в сообщении #379787 писал(а):

Подумаешь, двойка в якобиане потеряна.

Не в двойке дело. Даже если мы будем рассматривать ограниченную область, но захватывающую все четверти, то замена будет неправильной. А вот абсолютную схолимость я действительно проморгал. Подумал, что вне конечной области вблизи начала координат подынтегральная функция имеет один знак.

[ewert]

GAA в сообщении #379791 писал(а):

Даже если мы будем рассматривать ограниченную область, но захватывающую все четверти,

А вот это как раз и ни к чему -- в силу чётности по каждой переменной.

[ewert]

Кстати, если посчитать этот интеграл хоть сколько-то честно, то получится вовсе не ноль. Например, по раздувающимся квадратам со стороной $M\to+\infty$:

$$\int\limits_0^Mdx\int\limits_0^Mdy\cdot(1-2x^2y^2)e^{-x^2y^2}=\int\limits_0^M\dfrac{dx}{x}\int\limits_0^{Mx}(1-2t^2)e^{-t^2}dt=$$

$$=\int\limits_0^M\dfrac{dx}{x}\cdot t\,e^{-t^2}\Big|_{t=0}^{Mx}=\int\limits_{x=0}^Me^{-M^2x^2}M\,dx\to\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

Или по раздувающимся четвертям круга радиуса $M\to+\infty$:

$$\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^M(1-2r^4\sin^2\varphi\cos^2\varphi)e^{-r^4\sin^2\varphi\cos^2\varphi}r\,dr=\Big[r^2\sin\varphi\cos\varphi\equiv t\Big]=$$

$$=\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{d\varphi}{2\sin\varphi\cos\varphi}\int\limits_0^{M^2\sin\varphi\cos\varphi}(1-2t^2)e^{-t^2}dt=\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{M^2\sin\varphi\cos\varphi\,e^{-M^4\sin^2\varphi\cos^2\varphi}\,d\varphi}{2\sin\varphi\cos\varphi}\sim$$

$$\sim2\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{d\varphi}{2}\cdot M^2\,e^{-M^4\varphi^2}=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

Хм, странно -- то же самое получилось. На самом деле ничего странного. Берём произвольную область, ограниченную (непрерывной) кривой $r=R(\varphi)$ и раздуем её в $M\to+\infty$ раз:

$$\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^{M\,R(\varphi)}(1-2r^4\sin^2\varphi\cos^2\varphi)e^{-r^4\sin^2\varphi\cos^2\varphi}r\,dr=\left[\begin{matrix}r^2\sin\varphi\cos\varphi\equiv t \\ M^2R^2(\varphi)\sin\varphi\cos\varphi\equiv A(\varphi)\end{matrix}\right]=$$

$$=\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{d\varphi}{2\sin\varphi\cos\varphi}\int\limits_0^{A(\varphi)}(1-2t^2)e^{-t^2}dt=\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{A(\varphi)e^{-A^2(\varphi)}d\varphi}{2\sin\varphi\cos\varphi}=\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{d\varphi}{2}\cdot M^2R^2(\varphi)\,e^{-M^4R^2(\varphi)\sin^2\varphi\cos^2\varphi}.$$

Так вот: если $R(0)\neq0$ и $R({\pi\over2})\neq0$, то так $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ и будет получаться, а если хоть одно из крайних значений равно нулю -- то и извините.

[GAA]

ewert в сообщении #379794 писал(а):

А вот это как раз и ни к чему -- в силу чётности по каждой переменной.

Я ответил, почему замена в двойном интеграле выполнена неправильно. Я вообще над задачей нисколько не думал: нашел первую ошибку и пошел собираться на работу. Относительно исходной задачи: возможно, было бы нагляднее в исходном интеграл рассматривать в качестве области интегрирования первую четверть — проблем меньше, а суть таже. Оффтопить больше не буду, Вы и так уже по теме все сказали.

[semen-semenych]

Огромное спасибо всем откликнувшимся, это действительно помогло мне гораздо лучше уложить материал в голове.

Но к сожалению, обсуждение пока только подтвердил мой первоначальный тезис - "однозначности нет".

Очень замечательно, что ewert напомнил "как в учебнике" что бесконечный предел в несобственном интеграле есть предел. Кстати, ewert, вопрос - насколько корректно допускать R(0) и R(\dfrac{\pi}{2}) равным нулю? так ведь необходимо будет исключить из области интегрирования некоторую часть. Насколько это здесь будет оправдано?

И что всё-таки с этим делать - есть вполне убедительные выкладки ewert-а, что интеграл имеет некоторое конечное значение, есть столь же весомые доводы, что интеграл равен 0. Каков итог ?

[ИСН]

Вы ряды проходили? Некоторым людям бывает легче свыкнуться с этим неприятным фактом -

ewert в сообщении #379787 писал(а):

...абсолютно расходится, поэтому при разных способах подсчёта может дать, в принципе, что угодно.

- на примере рядов.