Скорость точки в косоугольных координатах

[Flooder]

Пытался решить задачу из Уиттекера («Аналитическая динамика», Глава I, упражнение 4).
Запутался, и решить не смог, был бы благодарен за подсказку.

Условия задачи:
Точка, движущаяся на плоскости, отнесена к косоугольным осям координат, образующим с какой-нибудь неподвижной прямой углы $\[\alpha \]$ и $\[\beta \]$, где $\[\alpha \]$ и $\[\beta \]$ суть заданные функции от времени. Найти компоненты скоростей (т.е., как понимаю, компоненты скоростей в этой косоугольной системе координат).

Моя запутанная попытка решения (Уиттекер в явном виде не применяет коэффициентов Ламэ, и я решил попробовать решить задачу не прибегая к ним).

Нарисуем три прямоугольных системы координат:


Идея была в том, что бы рассмотреть компоненты скорости в двух ортогональных системах координат ($\[ox`y`\] $ и $\[ox``y``\] $), а затем перейти к координатам $\[{y`;y``}\] $.

Компоненты скорости точки в системе $\[ox`y`\] $:
$\[\left\{ \begin{gathered} \dot x` - \dot \alpha y` \hfill \\ \dot y` + \dot \alpha x` \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $
Скорость точки в системе $\[ox``y``\] $:
$\[\left\{ \begin{gathered} \dot x`` - \dot \beta y`` \hfill \\ \dot y`` + \dot \beta x`` \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $.
Нас интересуют компоненты скорости по осям $\[oy`\] $ и $\[oy``\] $:
$\[\left\{ \begin{gathered} \dot y` + \dot \alpha x` \hfill \\ \dot y`` + \dot \beta x`` \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $.

Нужно в этих компонентах скорости перейти к переменным $\[\left\{ {y`;y``} \right\}\] $.

Формулы перехода от одной системы координат к другой:
$\[\left\{ \begin{gathered} x` = {A_{11}}x`` + {A_{12}}y`` \hfill \\ y` = {A_{21}}x`` + {A_{22}}y`` \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $.
Матрица:
$\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{11}}} & {{A_{12}}} \\ {{A_{21}}} & {{A_{22}}} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos (\alpha - \beta )} & { - \sin (\alpha - \beta )} \\ {\sin (\alpha - \beta )} & {\cos (\alpha - \beta )} \\ \end{array} } \right)\] $.
Из формул перехода получаем:
$\[x`` = \frac{{y` - {A_{22}}y``}} {{{A_{21}}}}\] $
$\[x` = {A_{11}}\left( {\frac{{y` - {A_{22}}y``}} {{{A_{21}}}}} \right) + {A_{12}}y``\] $
$\[x`` = \frac{{y` - \cos (\alpha - \beta )y``}} {{\sin (\alpha - \beta )}}\] $
$\[x` = \cos (\alpha - \beta )\left( {\frac{{y` - \cos (\alpha - \beta )y``}} {{\sin (\alpha - \beta )}}} \right) - \sin (\alpha - \beta )y``\] $.
Подставляем:
$\[\left\{ \begin{gathered} \dot y` + \dot \alpha \left( {\cos (\alpha - \beta )\left( {\frac{{y` - \cos (\alpha - \beta )y``}} {{\sin (\alpha - \beta )}}} \right) - \sin (\alpha - \beta )y``} \right) \hfill \\ \dot y`` + \dot \beta \left( {\frac{{y` - \cos (\alpha - \beta )y``}} {{\sin (\alpha - \beta )}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $.
Преобразуем:
$\[\left\{ \begin{gathered} \dot y` + \dot \alpha y`ctg(\alpha - \beta ) - \frac{{\dot \alpha y``}} {{\sin (\alpha - \beta )}} \hfill \\ \dot y`` - \dot \beta y``ctg(\alpha - \beta ) + \frac{{\dot \beta y`}} {{\sin (\alpha - \beta )}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $.
Ответ в книжке же имеет вид (с точностью до обозначений и с учётом нечётности синуса):
$\[\left\{ \begin{gathered} \dot y` + \dot \alpha y`ctg(\alpha - \beta ) + \frac{{\dot \beta y``}} {{\sin (\alpha - \beta )}} \hfill \\ \dot y`` - \dot \beta y``ctg(\alpha - \beta ) - \frac{{\dot \alpha y`}} {{\sin (\alpha - \beta )}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $.
(кстати, в русском издании в ответе есть опечатка, которую я поправил по оригиналу).

Разница в знаке, возможно, связана с тем, что я что-то перепутал в коэффициентах.
Но вот почему там в последних слагаемых производные от других углов?
В общем, у меня такое чувство, что где-то основательно перепутал, и возможно, вообще пошёл по неверному пути .
Если не трудно, дайте подсказку, или укажите ошибку.