Вариация модуля функции ограниченной вариации

[fatra]

Есть функция ограниченной вариации. Нужно доказать, что модуль функции имеет ограниченную вариацию, причем их вариации равны.

Используя известное неравенство о модуле разности модулей, я доказал, что модуль имеет ограниченную вариацию, причем вариация модуля функции меньше, чем вариация самой функции.
Обратное неравенство доказать не могу.
Может у кого-то есть идеи, как это можно сделать.

[Padawan]

Функция предполагается непрерывной? Иначе утверждение неверно.

[fatra]

Непрерывности нет. А как можно построить контрпример?

[Padawan]

$f(x)=-1, x<0$ и $1, x\geqslant 0$.

[fatra]

Действительно на отрезке [-1; 1] вариация функции равна 2, а вариация модуля 0.
Значит просто ошибка в условии задачи. А я пытаюсь доказать невозможное .
Спасибо большое .

[Padawan]

Так для непрерывной надо подумать.

[fatra]

Я думал об этом раньше. Идея была такой.
Если функция имеет одинаковые знаки на концах отрезка разбиения, то модуль разности модулей равен модулю разности, и проблемы нет.
Если знаки на концах разные, то по свойству непрерывных функций существует точка внутри отрезка, где функция равна нулю. Этот отрезок можно разбить на две части этой нулевой точкой.

[Padawan]

Значит, для любого разбиения отрезка существует его подразбиение, по которому сумма для $f$ и $|f|$ совпадают. Значит, вариация $|f|$ не меньше вариации $f$.