2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вариация модуля функции ограниченной вариации
Сообщение22.11.2010, 18:05 
Есть функция ограниченной вариации. Нужно доказать, что модуль функции имеет ограниченную вариацию, причем их вариации равны.

Используя известное неравенство о модуле разности модулей, я доказал, что модуль имеет ограниченную вариацию, причем вариация модуля функции меньше, чем вариация самой функции.
Обратное неравенство доказать не могу.
Может у кого-то есть идеи, как это можно сделать.

 
 
 
 Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
Сообщение22.11.2010, 18:08 
Функция предполагается непрерывной? Иначе утверждение неверно.

 
 
 
 Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
Сообщение22.11.2010, 18:09 
Непрерывности нет. А как можно построить контрпример?

 
 
 
 Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
Сообщение22.11.2010, 18:14 
$f(x)=-1, x<0$ и $1, x\geqslant 0$.

 
 
 
 Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
Сообщение22.11.2010, 18:20 
Действительно на отрезке [-1; 1] вариация функции равна 2, а вариация модуля 0.
Значит просто ошибка в условии задачи. А я пытаюсь доказать невозможное :x .
Спасибо большое :-) .

 
 
 
 Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
Сообщение22.11.2010, 18:24 
Так для непрерывной надо подумать.

 
 
 
 Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
Сообщение22.11.2010, 18:42 
Я думал об этом раньше. Идея была такой.
Если функция имеет одинаковые знаки на концах отрезка разбиения, то модуль разности модулей равен модулю разности, и проблемы нет.
Если знаки на концах разные, то по свойству непрерывных функций существует точка внутри отрезка, где функция равна нулю. Этот отрезок можно разбить на две части этой нулевой точкой.

 
 
 
 Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
Сообщение22.11.2010, 19:03 
Значит, для любого разбиения отрезка существует его подразбиение, по которому сумма для $f$ и $|f|$ совпадают. Значит, вариация $|f|$ не меньше вариации $f$.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group