Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Есть функция ограниченной вариации. Нужно доказать, что модуль функции имеет ограниченную вариацию, причем их вариации равны.
Используя известное неравенство о модуле разности модулей, я доказал, что модуль имеет ограниченную вариацию, причем вариация модуля функции меньше, чем вариация самой функции. Обратное неравенство доказать не могу. Может у кого-то есть идеи, как это можно сделать.
Padawan
Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
22.11.2010, 18:08
Функция предполагается непрерывной? Иначе утверждение неверно.
fatra
Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
22.11.2010, 18:09
Непрерывности нет. А как можно построить контрпример?
Padawan
Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
22.11.2010, 18:14
и .
fatra
Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
22.11.2010, 18:20
Действительно на отрезке [-1; 1] вариация функции равна 2, а вариация модуля 0. Значит просто ошибка в условии задачи. А я пытаюсь доказать невозможное . Спасибо большое .
Padawan
Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
22.11.2010, 18:24
Так для непрерывной надо подумать.
fatra
Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
22.11.2010, 18:42
Я думал об этом раньше. Идея была такой. Если функция имеет одинаковые знаки на концах отрезка разбиения, то модуль разности модулей равен модулю разности, и проблемы нет. Если знаки на концах разные, то по свойству непрерывных функций существует точка внутри отрезка, где функция равна нулю. Этот отрезок можно разбить на две части этой нулевой точкой.
Padawan
Re: Вариация модуля функции ограниченной вариации
22.11.2010, 19:03
Значит, для любого разбиения отрезка существует его подразбиение, по которому сумма для и совпадают. Значит, вариация не меньше вариации .