Не получается доказать !

[Иван_85]

Задача: Проверьте, что любые два элемента множества $X$ связаны (в том или ином порядке) отношением $\mathcal{R}\subset X^2$, если и только если $\mathcal{R}\cup \mathcal{R'}=X^2$.
То есть нужно доказать, что ($\forall x_1 \forall x_2 ((x_1\in X)\wedge (x_2\in X)\Rightarrow (x_1\mathcal{R} x_2)\vee (x_2\mathcal{R} x_1)))\Longleftrightarrow (\mathcal{R}\cup \mathcal{R'}=X^2)$.
Напомню, что отношение $\mathcal{R'}\subset Y\times X$ называется транспонированным отношением $\mathcal{R}\subset X\times Y$, если $(y\mathcal{R'} x) \Leftrightarrow (x\mathcal{R} y)$.

Мне удается доказать только следующее:
$(\forall x_1 \forall x_2 ((x_1\in X)\wedge (x_2\in X) \Rightarrow (x_1\mathcal{R} x_2)\vee (x_2\mathcal{R} x_1)))\Longrightarrow$
$\Longrightarrow (\forall x_1 \forall x_2 ((x_1, x_2) \in X^2\Rightarrow (x_1\mathcal{R} x_2)\vee (x_1\mathcal{R'} x_2)))\Longrightarrow$
$\Longrightarrow (\forall x_1 \forall x_2 ((x_1, x_2) \in X^2\Rightarrow (x_1, x_2)\in \mathcal{R}\cup\mathcal{R'} )))\Longrightarrow (X^2\subset \mathcal{R}\cup\mathcal{R'} )$;
Обратно:
$(X^2\subset \mathcal{R}\cup\mathcal{R'})\Longrightarrow (\forall x_1 \forall x_2 ((x_1, x_2) \in X^2\Rightarrow (x_1, x_2)\in \mathcal{R}\cup\mathcal{R'} )))\Longrightarrow$
$\Longrightarrow (\forall x_1 \forall x_2 ((x_1, x_2) \in X^2\Rightarrow (x_1\mathcal{R} x_2)\vee (x_1\mathcal{R'} x_2)))\Longrightarrow$
$\Longrightarrow (\forall x_1 \forall x_2 ((x_1\in X)\wedge (x_2\in X) \Rightarrow (x_1\mathcal{R} x_2)\vee (x_2\mathcal{R} x_1)))$.
То есть ($\forall x_1 \forall x_2 ((x_1\in X)\wedge (x_2\in X)\Rightarrow (x_1\mathcal{R} x_2)\vee (x_2\mathcal{R} x_1)))\Longleftrightarrow (X^2\subset\mathcal{R}\cup \mathcal{R'})$.

Подскажите пожалуйста, как доказать ($\forall x_1 \forall x_2 ((x_1\in X)\wedge (x_2\in X)\Rightarrow (x_1\mathcal{R} x_2)\vee (x_2\mathcal{R} x_1)))\Longleftrightarrow (\mathcal{R}\cup \mathcal{R'}=X^2)$ и вообще можно ли это доказать ? Может здесь опечатка (вместо $=$ должно быть $\supset$)? Спасибо !

[Null]

Если $\mathcal{R}\subset X^2$ и $\mathcal{R'}\subset X^2$, то $\mathcal{R}\cup \mathcal{R'}\subset X^2$

[Иван_85]

Как же я этого не увидел !
Спасибо !