Дифгем, да и линал впрочем (множество ортогональных матриц)

[Zidan98]

Помогите решить такую задачу из дифгема: нужно доказать, что множество ортогональных матриц n на n как многообразие регулярно в некой точке, что-то вроде того, но это не суть важно, а важно то, что эту задачу можно свести к нахождению якобиана, а для этого НУЖЕН БАЗИС ПРОСТРАНСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ! А это уже, кажется линал... В общем, в итоге нужно решить эту задачу, а та первая уже тогда решится.. И насколько я понимаю, тупо матричные единицы не годятся..При этом надо учитывать, что сначала идут блоки-ортогональные матрицы 2*2, а затем просто единицы по диагонали с некоторого $k=<n$

-- Пн ноя 22, 2010 14:05:38 --

Да, и подскажите, как правильно набрать "меньше или равно"!! Я давно с ТЕХ-ом не работал, а когда работал, то не очень много..

[Алексей К.]

Так можно набрать меньше или равно.

[ewert]

Zidan98 в сообщении #378935 писал(а):

НУЖЕН БАЗИС ПРОСТРАНСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ! А это уже, кажется линал...

Это ни в коем случае не линал, т.к. ортогональные матрицы не образуют линейное пространство. Соответственно, и о базисе в нём говорить не приходится.

Речь, видимо, о касательном подпространстве к многообразию ортогональных матриц в точке, отвечающей заданной матрице. Любая матрица, близкая к заданной, получается из заданной её умножением на ортогональную матрицу, близкую к единичной. Любую ортогональную матрицу можно получить как произведение матриц элементарных (парных) поворотов, и если она близка к единичной, то и углы этих поворотов малы. Вот эти углы (к примеру) и могут служить локальными координатами.

Или так: если $A$ ортогональна и $A+\Delta A$ тоже (где $\Delta A$ -- малая поправка), то $A\,A^T=I$ и $(A+\Delta A)(A^T+\Delta A^T)=I$, откуда $A\,\Delta A^T+\Delta A\,A^T+\Delta A\,\Delta A^T=0$. Пренебрегая последним квадратичным слагаемым, получим однородную систему линейных уравнений $A\,\Delta A^T+\Delta A\,A^T=0$ для неизвестных $\Delta A$. Пространство решений этой системы (сдвинутое на $A$, конечно) и будет касательным подпространством к многообразию ортогональных матриц в точке $A$.

[paha]

Zidan98 в сообщении #378935 писал(а):

что-то вроде того, но это не суть важно, а важно то, что эту задачу можно свести к нахождению якобиана, а для этого НУЖЕН БАЗИС ПРОСТРАНСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ!

а зачем что-то изобретать? есть отображение $f: A\mapsto AA^T$ из линейного пространства всех матриц в себя

как почти показал ewert
${\rm d}_Af(B)=AB^T+BA^T$
разумеется, в каждой точке из $f^{-1}(E)$ линейное пространство матриц раскладывается в прямую сумму $T_A\oplus \ker {\rm d}_Af$, а все $\ker {\rm d}_Af$, как легко видеть, изоморфны