Треугольник, составленный из оснований высот

[Helga007]

Точки $A_1,B_1,C_1$ -основания высот треугольника $ABC$. Углы треугольника$A_1,B_1,C_1$ 90, 60 и 30. Найти углы треугольника $ABC$.

Подбросьте идею,не соображу никак((((((. Заранее благодарю

[Everest]

По-моему задачка из ЕГЭ 2009 года, с кем-то я её решал :) Вообщем, разбирайтесь :)

1) Если $ABC$ - остроугольный треугольник. Легко увидеть, что треугольник $A_1BC_1$ подобен треугольнику $ABC$. Поэтому $\angle C_1A_1A=\frac{\pi}{2}-\angle A$. Аналогично, угол $\angle B_1A_1A=\frac{\pi}{2}-\angle A$. Значит угол $\angle B_1A_1C_1=\pi-2\angle A$, и , аналогично, $\angle A_1B_1C_1=\pi-2\angle B$ и $\angle A_1C_1B_1=\pi-2\angle C$. Отсюда, получаем, что например: $\angle A=45, \angle B=60, \angle C=75$.

2) Пусть теперь $ABC$ - тупоугольный треугольник ($\angle B>90$). Треугольник $A_1BC_1$ подобен треугольнику $ABC$, поэтому $\angle C_1A_1B=\angle A$. Четырехугольник $AA_1BB_1$ - вписанный, т.к. противоположные углы по 90. Поэтому $\angle B_1A_1B=\angle A$. Значит, $\angle B_1A_1C_1=2\angle A$, и аналогично, $\angle A_1C_1B_1=2\angle C$. Значит, на угол $\angle A_1B_1C_1$ остается $\angle A_1B_1C_1=2\angle B - \pi$. Например: $\angle A=45, \angle C=30, \angle B=105$.
Возможны также случаи (в зависимости от выбора значения $\angle A_1B_1C_1$):
$\angle B=120, \angle A=45, \angle C=15$ и $\angle B=135, \angle A=30, \angle C=15$.

[Helga007]

Спасибо огромное, теперь разберусь.