[Pascal] Значение k-й производной

[grozglaz]

В общем я в предыдущем посте написал неправильно(да и в этом, вероятно, тоже).
Отличие в том, что только на последнем шаге умножается на факториал порядка производной.
$\left\{\begin{array}{l} $p^{(n)}_i$_0 = 0 \\ $p^{(n)}_i$_{i + 1} = $p^{(n)}_i x + $p^{(n-1)}_i$ \\ $p^{(n)}_i$_{j-i=n} = ( $p^{(n)}_i x + $p^{(n-1)}_i$_i ) * n! \end{array}\right.$
Где j — степень полинома.

[arseniiv]

Во-первых, вы лишних долларов внутрь формулы понаставляли. (Они должны ограничивать её только слева и справа.) Во-вторых, с индексами у вас неладно. В-третьих, у меня почему-то получилось более просто (я также могу быть неправ, потому что остатки в тот день досчитывал в голове, засыпая):
$\left\{\begin{array}{l} p^{(n)}_0 = 0 \\ p^{(n)}_{i + 1} = n\left( p^{(n)}_i x + p^{(n - 1)}_i \right) \end{array}\right.$
Т. е. без факториала и всяких излишних условий.

[grozglaz]

arseniiv в сообщении #379430 писал(а):

Во-первых, вы лишних долларов внутрь формулы понаставляли. (Они должны ограничивать её только слева и справа.) Во-вторых, с индексами у вас неладно. В-третьих, у меня почему-то получилось более просто (я также могу быть неправ, потому что остатки в тот день досчитывал в голове, засыпая):
$\left\{\begin{array}{l} p^{(n)}_0 = 0 \\ p^{(n)}_{i + 1} = n\left( p^{(n)}_i x + p^{(n - 1)}_i \right) \end{array}\right.$
Т. е. без факториала и всяких излишних условий.

Да, с языком разметки времени не было ознакомиться. Скопипастил и интуитивно правил из цитаты одного вашего поста.
Нет, по вашим равенствам, вроде бы, не получается.

-- Вт ноя 23, 2010 20:13:49 --

Вот, вроде поправил:
$\left\{\begin{array}{l} $p^{(n)}_0 = 0 \\ $p^{(n)}_{i + 1} = $p^{(n)}_i x + $p^{(n-1)}_i$ \\ $p^{(n)}_{j-i=n} = ( $p^{(n)}_i x + $p^{(n-1)}_i ) * n! \end{array}\right.$
Где j — степень полинома.

[arseniiv]

grozglaz в сообщении #379618 писал(а):

Нет, по вашим равенствам, вроде бы, не получается.

Давайте на реальном многочлене поэкспериментируем, он и рассудит. Только не будем числа подставлять, а просто $x \equiv t_0$. Возьмём степени 5 и сделаем тут табличку. Например, $3x^5 - 2x^4 + 5x^2 + 4x - 1$. Коэффициенты в файл запишутся таким образом: $3,\, -2,\, 0,\, 5,\, 4,\, -1$. Трассировочная табличка:

$$\begin{array}{|r|l|l|l|l|l|l|} \hline k & p & p' & p'' & p''' & p^{(4)} & p^{(5)} \\ \hline 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3x - 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 3x^2 - 2x & 6x - 2 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 3x^3 - 2x^2 + 5 & 9x^2 - 4x & 18x - 4 & 18 & 0 & 0 \\ -1 & 3x^4 - 2x^3 + 5x + 4 & 12x^3 - 6x^2 + 5 & 36x^2 - 12x & 72x - 12 & 72 & 0 \\ & 3x^5 - 2x^4 + 5x^2 + 4x - 1 & 15x^4 - 8x^3 + 10x + 4 & 60x^3 - 24x^2 + 10 & 180x^2 - 48x & 360x - 48 & 360 \\ \hline \end{array}$$

Итак, при составлении таблицы обнаружилось, что надо действительно заменить мою систему на немного другую:
$\left\{\begin{array}{l} p^{(n)}_0 = 0 \\ p^{(n)}_{i + 1} = p^{(n)}_i x + n p^{(n - 1)}_i \end{array}\right.$
в правильности коей, думаю, сомнений нет.

-- Вт ноя 23, 2010 23:48:26 --

Можете проверить (алгоритм, а не таблицу, конечно), подставив $x = -2$ или даже не подставляя. Значения, полученные итерациями $p^{(k)}$, совпадут со значениями из таблицы.

(Оффтоп)

grozglaz в сообщении #379618 писал(а):

Вот, вроде поправил:

Да выкиньте ж вы эти доллары слева от $p$!