Точки ветвления многозначной функции

[MTV]

Хотелось бы выяснить, насколько верны и строги мои рассуждения относительно некоторых моментов:

Итак, нужно найти точки ветвления функции $f(z) = \sqrt{Ln{(z-1)}}$.

Точки $z=1$, $z=2$ - точки ветвления (первая за счет логарифма, вторая за счет корня), это я доказал.
Вопрос вызывает третья точка: $z = \infty$.
С одной стороны, эта точка будет точкой ветвления для $g(z) = Ln{(z-1)}$, т.е. в самом деле, если задать замкнутый контур $\gamma$ в окрестности бесконечности, задать точку на контуре и следить за аргументом $(z-1)$ при движении по контуру от заданной точки до неё же, то значение функции изменится на $2\pi i$. Т.е. $g_{\gamma}(z_0) = g(z_0) + 2\pi i$.
С другой же стороны, для $h(z) = \sqrt{z}$ аналогичным образом при движении вокруг бесконечности эта функция сменит знак, т.е. $h_{\gamma}(z_0) = -h(z_0)$
Следовательно, если $f(z_0) = \sqrt{Ln{(z_0-1)}}$, то при движении по контуру вокруг бесконечности: $f_{\gamma}(z_0) = -\sqrt{Ln{(z_0-1) + 2\pi i}} \neq f(z_0)$, откуда получаем, что $z=\infty$ - точка ветвления.

Причиной вопроса был один сопливый момент: если $z_0$ - точка ветвления для $h(z)$, $h(z_0)$ - точка ветвления для $g(z)$, то всегда ли для $f(z) = g(h(z))$ точка $g(h(z_0))$ будет точкой ветвления?

[Padawan]

Чем отличается $z=\infty$ от $z=1$ ?

[INDIGO1991]

Вот такие функции не пойдут?

$h(z)= \sqrt[3]{z^2}$
$g(w)=\sqrt{w^3}$

Как контрпример

[MTV]

Padawan
Это незримая подсказка, или просто вопрос? Мне лишь надо узнать, верно ли я рассуждаю, и всё.
В моих пониманиях эти точки отличны в том смысле, что $z=\infty$ - точка ветвления для обеих функций. Ну и таким образом, она попадает под моё утверждение в конце. Контрпример предыдущего оратора заставил меня задуматься над тем, будет ли в итоге $z=\infty$ точкой ветвления.

[INDIGO1991]

В данном случае бесконечность будет точкой ветвления, думаю, у вас правильное объяснение.
Действительно значения до обхода и после обхода не равны, иначе их можно возвести в квадрат и получим что значения логарифма до обхода вокруг бесконечности и после совпадают.