Каковы критерии отсутствия запутанности?

[Dims]

Допустим, есть система из двух подсистем. Пусть это два кубита A и B.

Составная подсистема находится в состоянии

c_{00} 0_A 0_B + c_{01} 0_A 1_B + c_{10} 1_A 0_B + c_{11} 1_A 1_B

Допустим, коэффициенты разложения представимы в виде произведений

c_{ij} = u_i v_j

Тогда состояние можно представить в виде

u_0 v_0 0_A 0_B + u_0 v_1 0_A 1_B + u_1 v_0 1_A 0_B + u_1 v_1 1_A 1_B

и оно распадается на произведение

(u_0 0_A + u_1 1_A) (v_0 0_B + v_1 1_B)

Достаточное ли это условие того, что подсистемы не взаимодействуют и не запутаны?

Если "да", то как можно ёмко сформулировать свойства набора коэффициентов c_{ij}, при котором это происходит?

[Vladimir410]

Да по определению независимых состояний. Сюда ничего нельзя больше добавить, кроме условия нормировки для u и v.

[Dims]

Разве нельзя как-то отличить четвёрку чисел, которая раскладывается нужным образом от той, которая не раскладывается? Может быть, какой-нибудь определитель ненулевой или тому подобное?

[Someone]

Dims писал(а):

Разве нельзя как-то отличить четвёрку чисел, которая раскладывается нужным образом от той, которая не раскладывается? Может быть, какой-нибудь определитель ненулевой или тому подобное?

$\begin{cases}c_{00}=u_0v_0\\c_{01}=u_0v_1\\c_{10}=u_1v_0\\c_{11}=u_1v_1\end{cases}$ $\Longleftrightarrow$ $c_{00}c_{11}=c_{01}c_{10}$

Если $c_{00}=c_{01}=c_{10}=c_{11}$, то можно взять $u_0=u_1=0$ или $v_0=v_1=0$.

Если хотя бы одно из чисел $c_{ij}\neq 0$, то берём, например, $u_i=\alpha$, $v_j=\frac{c_{ij}}{\alpha}$, а два других числа ($u_{1-i}$ и $v_{1-j$) определяем из равенств $c_{(1-i)j}=u_{1-i}v_j$ и $c_{i(1-j)}=u_iv_{1-j}$.

[Dims]

Итак получается, что четвёрки чисел делятся как бы на два лагеря: отображающие незапутанную систему и запутанную. Очень странно! Получается, в 4-пространстве, если пометить одни точки чёрным, а другие -- белым, то образуется странная фигура, наподобие множества Мандельброта...

Или это семейство линий или плоскостей или пространств?

А из трёх и меньшего числа чисел можно выделить такое подмножество?

[Someone]

Dims писал(а):

Итак получается, что четвёрки чисел делятся как бы на два лагеря: отображающие незапутанную систему и запутанную. Очень странно! Получается, в 4-пространстве, если пометить одни точки чёрным, а другие -- белым, то образуется странная фигура, наподобие множества Мандельброта...

Ну, не так уж и сложно.

Dims писал(а):

Или это семейство линий или плоскостей или пространств?

Уравнение $c_{00}c_{11}=c_{01}c_{10}$ определяет в четырёхмерном пространстве четвёрок $(c_{00},c_{01},c_{10},c_{11})$ трёхмерную коническую поверхность. Точки на поверхности соответствуют незапутанным системам, вне поверхности - запутанным.

Dims писал(а):

А из трёх и меньшего числа чисел можно выделить такое подмножество?

Мне вопрос непонятен. Если Вы его сформулируете так, как Вы сформулировали задачу для четвёрок, можно будет посмотреть.

[Dims]

Да, спасибо, проясняется.

[Vladimir410]

Someone писал(а):

Уравнение определяет в четырёхмерном пространстве четвёрок трёхмерную коническую поверхность. Точки на поверхности соответствуют незапутанным системам, вне поверхности - запутанным.

Коническая поверхность имеет бесконечный диаметр. Условия нормировки приведут к конечному размеру множества.