Разрешение бесконечности для численного интегрирования

[freax]

Есть $\int_{0}^{\infty} \frac {\cos x} {x^2+1}dx$ и заданная точность $\varepsilon$
Нужно эту штуку численно посчитать по квадратурной формуле Симпсона с оценкой погрешности методом Рунге. Этот метод работает на конечных пределах интегрирования.
Разобьем: $\int_{0}^{A} \frac {\cos x} {x^2+1}dx + \int_{A}^{\infty} \frac {\cos x} {x^2+1}dx$. Первый интеграл вроде правильно численно считается с точностью $\frac {\varepsilon} {2}$. Сейчас оценка $A=\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}$
Вопрос в том, чтобы оценить параметр A, по возможности сделать его минимальным для заданной точности $\varepsilon$. Как это лучше сделать для этого случая?

[GAA]

В соответствии с правилами раздела «Помогите решить / разобраться (М)», куда перенесли тему, Вам следует привести попытки решения. (В следующий раз тема будет перемещена в Карантин до приведения попыток решения.)

$|\int_A^{\infty} f(x)\, dx | \le \int_A^{\infty} |f(x) |\, dx $
Теперь следует подобрать такую функцию $g(x)$, чтобы $|f(x)| \le g(x)$ и интеграл $\int_A^{\infty} g(x) \, dx$легко бы брался.

[Null]

Оценка $A=\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}$ достаточно точна. $|\int_A^{\infty} f(x)\, dx | \le \int_A^{\infty} |f(x) |\, dx $ - слишком грубо.
Null, очевидную простейшую оценку я просил привести, чтобы стало понятно, что ТС уже сделал, что пробовал сделать. Не хочется часто переносить темы в Карантин. Поэтому старайтесь дать ТС в простейших задачах рассказать, что он делал. Не спешите помогать. В противном случае модераторы будут вынуждены в подобных случаях переносить темы в Карантин. /GAA, 19.11.10 (копия направлена Null ЛС)

[freax]

Эх, хромает мой матанализ
На роль $g(x)$ просится $\frac {1}{x^2+1}$. Тогда оценка $A=\tg({\frac{\varepsilon}{2}+\frac {\pi}{2})}$ (так вроде?) А это многовато.

То что стоит сейчас - получено полуинтуицией полуошибкой: забыл я интеграл нарисовать. Вышло $\frac {cos(x)}{A^2+1}=\frac{\varepsilon}{2}$ откуда $A=\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}$ Эта оценка оказалась рабочей и живучей. Только препод хочет еще точнее и обоснованнее.

Он "хвост" от подобного интеграла как-то хитро взял по частям: у него увеличилась степень знаменателя, а следовательно и сходимость, а следовательно А можно выбрать меньше.

[ИСН]

Ну и Вы возьмите по частям, в чём проблема-то?

[freax]

Не получается у меня из разложения по частям ничего толкового

[ewert]

$\int\limits_A^{+\infty}\dfrac{\cos x}{1+x^2}dx=-\dfrac{\sin A}{1+A^2}+\int\limits_A^{+\infty}\dfrac{2x\,\sin x}{(1+x^2)^2}dx\,.$

Последний интеграл оценивается уже через $\dfrac{1}{A^2}$, а не через $\dfrac{1}{A}$. Дальнейшие интегрирования по частям позволят улучшать оценку дальше.

Кстати, откуда Вы взяли корень -- загадка: самая тупая (и при этом точная, если уж игнорировать знакочередование) оценка подынтегральной функции -- это просто $\dfrac{1}{x^2}$, откуда получается $A=\dfrac{2}{\varepsilon}$.

[mihiv]

Интересно,что можно выбрать $A\sim \sqrt[3]{\frac 1{\varepsilon }}$ и даже еще лучшие значения для $A$,но надо подождать,чтобы ТС показал,как он получил $A=\sqrt \frac 2{\varepsilon }$