Помогите посчитать предел.

[The Last Samurai]

$\lim_{x\mapsto0}x^{x^x}-1$, пытался представить x как $e^{\ln x}$,чтобы попытаться воспользоваться правилом лопиталя,но ничего не получается

[ИСН]

А такой, когда просто $x^x$, знаете, как найти?

[The Last Samurai]

что -то мне подсказывает , что ответ 0. Примерно представляю себе,опять же через представление x через натуральный логарифм

[Joker_vD]

Интересно, каким боком здесь правило Лопиталя?

[Gortaur]

В таких выражениях лучше ставить скобки, потому что нет ассоциативного свойства (что сначала нужно в какую степень возводить), хотя здесь скорее всего скобка наверху, иначе просто $x^{x^2}$ было бы. представив Выше выражение как

$$ \exp\left\{x^x\log{x}\right\} $$

получаем, что если посчитаем предел $x^x \log{x}$ - уже хорошо, потому как далее идет непрерывная функция, и можно просто подставить значения предела в нее. Далее, предел $x^x$ уже был запрошен by ИСН, считайте его и подставляйте.
P.S.
у меня получается, что предел $x^{(x^x)}$ равен $0$, что странно.

[caxap]

1) $\lim\ln = \ln \lim$
2) $\lim AB=\lim A\cdot \lim B$
3) Правило Лопиталя.

-- 18 ноя 2010, 18:51 --

Gortaur в сообщении #377044 писал(а):

у меня получается, что предел $x^{(x^x)}$ равен $0$, что странно.

И у меня. Но не странно. Можно на калькуляторе последовательно считать $0.1^{0.1^{0.1}}$, $0.01^{0.01^{0.01}}$... и смотреть, как приближаемся к 0.

[Joker_vD]

Gortaur в сообщении #377044 писал(а):

у меня получается, что предел $x^{(x^x)}$ равен $0$, что странно.

Чего ж тут странного, предел $x^x$ равен $1$. А $0^1 = 0$, это без вопросов.

(Оффтоп)

Возведение в степень правоассоциативно, $a^{b^c}$ означает $a^{(b^c)}$

[venco]

Попытаюсь воспользоватся телепатией.
Может, The Last Samurai имел в виду $\lim\limits_{x\to +0}{x^{x^x-1}}$?
Так интереснее получается.

[The Last Samurai]

А откуда взялось выражение

$$ \exp\left\{x^x\log{x}\right\} $$

? Log по какому основанию? что означают фигурные скобки?
я правильно понимаю,что можно преобразовать к виду
$\lim_{x\mapsto0}x^{x^x}-1=\lim_{x\mapsto0}x^Х\lim_x{\mapsto0}({x^x})}-1$ ?
Вообще я имел в виду x в степени x,в степени x, меня правильно поняли.Возводить в степень получается надо сверху,как бы спускаясь по лесенке?

[ИСН]

Логарифм взяли, оттуда и взялось. По любому, но считайте, что натуральный. Скобки обычные. Да. Да.
Прекратите писать mapsto, достаточно просто to.

[caxap]

The Last Samurai в сообщении #377137 писал(а):

А откуда взялось выражение

$\displaystyle e^{x^x\ln x}=e^{\ln x^{x^x}}=x^{x^x}$.

The Last Samurai в сообщении #377137 писал(а):

я правильно понимаю,что можно преобразовать к виду

Да. Осталось найти $\lim\limits_{x\to 0} x^x$...

(по TeX)

Чтобы $x\to 0$ писалось под лагарифмом, а не как нижний индекс, надо писать так:

\lim\limits_{x\to 0}

[Joker_vD]

Можно, можно. А почему? Потому, что пределы показателя и основания существуют и $0^1$ не является неопределенностью. Главное, найдите $\lim\limits_{x\to 0} x^x$

(Оффтоп)

У нас на первом курсе многи любили перейти от предела суммы к сумме пределов, обнаружить, что пределы эти бесконечные, и на основании этого заявить, что исходный предел не существует.

[Gortaur]

Я бы вообще-то был осторожнее, потому что уж $e^y$ - точно непрерыная функция, соответственно можно сначала посчитать предел показателя, а потом и степень считать. другое дело $x^{f(x)}$ - здесь не все так просто (по-моему).

Топикстартеру: фигурные скобки я пишу для аргумента экспоненты, так привык, т.е. я имею ввиду

$$ \exp\{y\} = e^y. $$

[The Last Samurai]

venco в сообщении #377060 писал(а):

Попытаюсь воспользоватся телепатией.
Может, The Last Samurai имел в виду $\lim\limits_{x\to +0}{x^{x^x-1}}$?
Так интереснее получается.

Оказывается такой вариант тоже надо решить.С первым разобрался-там все легко.А во втором если отдельно посчитать $x^x $ и вычесть 1,то ничего не получается.

[ewert]

$\ln A=\dfrac{x^x-1}{(\ln x)^{-1}}\sim\Big[\text{по Лопиталю}\Big]\sim\ldots\sim-x\,\ln^3x\to\ldots$