Красивые задачи и трюки классической механики

[Bulinator]

Привет всем.
В этой теме предлагаю выкладывать всякие красивые математические(и не только) задачи и трюки связанные с классической механикой.

Начну с задачи обсуждавшейся в соседней теме, решение которой мне очень понравилось. Спасибо moscwicz-у.

На симплекическом многообразии $M$, параметризованном координатами $y$ задано семейство гладких кривых $y^i=y^i(t,C_1,\ldots,C_{2n})$.
1. Каким условиям должны удовлетворять кривые, чтобы существовал Гамильтониан $H$ траекториями которого они являлись?
2. Как восстановить Гамильтониан по этим траекториям?

Прежде чем перейти к решению, напомню несколько определений из книги Арнольда "Математические методы классической механики".
С помощью симплектической 2-формы, каждому векторному полю $\xi$ на $TM$ можно поставить в соответствие 1-форму $\omega^{(1)}_\xi(\eta)=\omega^{(2)}(\xi,\eta)$, для $\forall \eta\in TM$. Это соответствие является изоморфизмом векторов и 1-форм. Собственно обратное преобразование от 1-форм к векторам задается оператором $I$. С учетом обозначений имеем $I(\omega^{(1)}_\xi)=\xi$.

Решение:
С учетом обозначений можем записать уравнения Гамильтона для любой функции $f=f(y)$ в следующем виде:
$\dot{f}=I(dH)f$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)
В частности, если $f=y$ имеем
$\dot{y}=I(dH)y$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2)

Таким образом, уравнения Гамильтона в любой точке определяют векторное поле, касательное к траекториям частицы.
Во первых, понятно, что кривые $y(C,t)$ должны покрывать все многообразие $M$. Действительно, в начальный момент времени частица может находится в любой точке фазового пространства и должна существовать кривая, по которой она будет двигаться. Это кривая должна быть единственной, ибо в противном случае частица "не будет знать" куда ей идти. Математически это означает, что в любой, фиксированный момент t параметры $C_1,\ldots,C_{2n}$ должны однозначно выражаться через точку фазового пространства. Т.е. имеем единственную кривую $y(C(y_0),t)$ проходящую через точку $y_0$ с точностью до выбора начала отсчета времени.
Имея семейство кривых, можно построить векторное поле, ксательное к ней в любой точке. Т.е. для любой точки y_0 имеем:
$v(y_0)=\left.\frac{\partial y^i(C(y_0),t)}{\partial t}\right|_{t=0}\frac{\partial}{\partial y^i},$
где параметры $C$ выражены через $y$ в момент $t=0$.

Далее понятно, что это векторное поле должно совпадать с векторным полем порожденным Гамильтонианом $H$ по формуле (1)(ну или (2)).
Т.е. имеем $v(y)=I(dH)$, или, имея ввиду невырожденность симплектической 2-формы:
$\omega^{(2)}(v(y))=dH$.

Согласитесь, красиво Жду комментариев.

Анонс: скоро покажу как делать репараметризацию времени в гамильтоновом формализме.

[Bulinator]

Bulinator в сообщении #376606 писал(а):

Анонс: скоро покажу как делать репараметризацию времени в гамильтоновом формализме.

Тут я немного, скажем так, преувеличил. Репараметризация в общем случае делается с помощью связей и, честно говоря, я в ней пока не совсем разобрался. Сейчас же, опишу как это просто делается на поверхности уровня $H=E$.
Итак, зафиксируем значения Гамильтониана равным некоторому числу $E$, и рассмотрим функцию $H^\prime$:
$H^\prime-E^\prime=\left.(H-E)f(y)\right|_{H=E}=0,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(3)$
где $f(y)$- функция фазовых переменных $y$.

Теперь, для любой функции g(y) имеем:

$\dot{g}(y)=\left\{H^\prime, g(y)\right\}=f(y)\left\{H, g(y)\right\}+(H-E)\left\{f(y), g(y)\right\}$

второе слагаемое исчезает на поверхности уровня (3) и это выражение можно переписать в форме:
$\frac{1}{f(y)}\frac{dg(y)}{dt}=\left\{H^\prime, g\right\}\qquad\qquad\qquad\qquad(4)$.

Т.е. получается, что сделана репараметризация времени $dt\mapsto f(y)dt$

Примечание 1: Заметьте, что для корректной процедуры репараметризации (и вообще, всего) надо фиксировать значение Гамильтониана уже после подсчета скобок Пуассона.

Примечание 2: Понятно, что т.к. мы рассматривали системы только с заданным значением энергии, полученный таким образом Гамильтониан не является единственным, который соответствует кривым с репараметризованным временем $dt\mapsto f(y)dt$.

Примечание 3: Если $g(y)$- интеграл движения Гамильтониана $H$, он будет таковым и для $H^\prime$.

[myhand]

Bulinator в сообщении #377157 писал(а):

Тут я немного, скажем так, преувеличил. Репараметризация в общем случае делается с помощью связей и, честно говоря, я в ней пока не совсем разобрался.

А что конкретно непонятно?

В качестве введения - посмотрите книжку Дирака "Лекции по теоретической физике" (издана не так давно издательством РХД).

Там все достаточно просто. Собственно, в Вашем случае поверхность уровня энергии и есть связь, а движение рассматривается в расширенном фазовом пространстве: Вы дополняете обычное фазовое пространство "координатой" t и "импульсом" $-E$. У Вас есть одна связь:

$$\phi(p,q,-E,t) = H(p,q,t) +(-E) = 0 \eqno{(1)}$$

гамильтониан такой системы тождественно равен нулю в слабом смысле (т.е. с учетом связей, обозначаем далее $\approx$), поскольку Вы включили нефизическую степень свободы (репараметризацию времени). Вы можете его взять в виде ${\cal H} = \lambda \phi \approx 0$. Откуда (точки - производные по независимой переменной, скажем $\tau$) $\dot p \approx \lambda \{p,H\}$, $\dot q \approx \lambda \{q,H\}$, $\dot t \approx \lambda $ и $\dot E \approx \lambda \frac{\partial H}{\partial t}$.

Еще проще это сделать в лагранжевом формализме:

$$S = \int L(q',q,t)dt = \int \left(L_1(\dot q,\dot t,q,t)\equiv L(\frac{\dot q}{\dot t},q,t)\dot t\right)d\tau \eqno{(2)}$$

Лагранжиан вырожденный, так что при переходе к гамильтонову формализму обратно получите связь (1).

[Bulinator]

Да, красиво.

myhand в сообщении #377185 писал(а):

Еще проще это сделать в лагранжевом формализме:

Так неинетресно