Разложение дискретной функции по неортогональным гармоникам

[Ingar]

Гласит, I.Bush
G.Bush

Спектрально-корреляционный метод обнаружения сигналов

Несмотря на развитие научных методов обнаружения радиотехнических сигналов в смеси сигнала и помехи эта проблема не может считаться решенной до настоящего времени.
Процедуры обнаружения сигналов Неймана-Пирсона и Вальда используют и математический аппарат, основанный на такой характеристике сигнала, как его амплитуда. Сравнивая отношение правдоподобия с вычисленным порогом, как это происходит в процедуре Неймана-Пирсона или с двумя порогами, как это происходит и процедуре Вальда, см.например [Лекция: Последовательные правила обнаружения Википедия] принимается решение о наличии или либо об отсутствии сигнала. Для расчета этих порогов задаются вероятностями правильного обнаружения и ложной тревоги.
Отметим, что эти процедуры работают только для стационарных процессов.
Адаптивный фильтр Калмана позволяет учесть нестационарность, не меняя сути процедур.
Встает вопрос: можно ли выбрать другие характеристики сигнала, по которым его можно обнаружит не только в нестационарном процессе, но и при интенсивной помехе ?
Рассмотрим возможность применения такой характеристики сигнала и помехи, как их спектр.
Несмотря на ясный физический смысл понятия спектр, хотя бы на примере спектра радуги [Гущин Д. Д. Что мы видим, когда смотрим на радугу, и как мы слышим звук Википедия], существует ошибочное мнение о том, что спектр описывается преобразованием Фурье, хотя это преобразование дает такую характеристику сигнала, как спектральная плотность сигнала.

Определим спектр сигнала в виде следующего ряда:
N
Sp(∆t•n) = ∑Um(n) (1)
n=1
где:
Sp(∆t•n) – дискретные отсчеты спектра сигнала,
∆t•n – дискретные моменты времени,
∆t – шаг дискретного временного отсчета,
n – номер дискретного момента времени,
N – количество членов ряда,
Um(n) – амплитуда Um n-гармоники сигнала.



Для спектра помехи этот ряд запишется в виде:
N
Sp(∆t•n) = ∑σn(n) (2)
n=1
где:
σn(n) – дисперсия σn n-ой гармоники помехи.

Отметим, что частота спектральных отсчетов определяется частотой гармоник сигнала fn = 1/∆t•n.
По-существу выражение (1) определяет разложение функции в ряд, типа ряда Фурье. Однако, если в ряде Фурье даже при бесконечном числе его членов возникает ошибка в точности определения значения функции, вызванная явлением Гиббса см., например [Сходимость рядов Фурье Википедия], то ряд (1) позволяет определить точное значение функции при конечном числе его членов.
Спектр идеальной широкополосной помехи и спектр сигнала в виде прямоугольного импульса запишется в виде:
N
Sp(∆t•n) = ∑[σn(n) + Um(n)] (3)
n=1

Отношение спектра аддитивной смеси помехи и сигнала к спектру помехи равно:
N
K = ∑[Um(n) + σn(n)]/Um(n) (4)
n=1

При отсутствии помехи выражение (4) примет минимальное значение:
Kmin = 1 (5)

Теперь решающее правило можно сформулировать следующим обрезом:
Если K > 1, то принимается решение о наличие сигнала, в противном случае об его отсутствии.

Другие характеристики сигнала, которую следует принять во внимание, это автокорреляционная функция.

Автокорреляционная функция сигнала имеет вид:
N
Ψu(∆t•n) =•∆t•ΣU(∆t•n)•U[(∆t+∆τ)•n] (3)
n=1
где:
Ψu(∆t•n) – отсчеты автокорреляционной функции сигнала,
∆t•n – дискретные моменты времени,
∆t – шаг временного дискрета,
∆τ – шаг временного сдвига сигнала,
U(∆t•n) – отсчеты сигнала в моменты времени ∆t•n,
U[(∆t+∆τ)•n] – отчеты сигнала в моменты времени (∆t+∆τ)•n.

Для сигнала, имеющего форму прямоугольного импульса высотой E автокорреляционная функция примет вид:
Ψu(∆t•n) = ∆τ•E^2 (4)

Для аддитивной смеси сигнала и помехи типа белого шума с дисперсией σ взаимная корреляционная функция запишется как;
Ψ(u+v)(∆t•n) = ∆t•σ^2 (5)
N
Ψ(u+v)(∆t•n) = ∆t•ΣU(∆t•n)•V[(∆t)•n] (6)
n=1
где:
U(∆t•n) – отсчеты сигнала в моменты времени Δt•n,
V(∆t•n) – отсчеты помехи в моменты времени ∆t•n,

Символом ‘U’ обозначен сигнал, а символом ‘V’ – помеха.

Коэффициент отношение взаимной корреляционной функции сигнала и помехи к автокорреляционной функции сигнала равен:
K = V[(∆t+∆τ)•N]/U[(∆t+∆τ)•N] (7)

Для сигнала, имеющего форму прямоугольного импульса амплитудой E и помехи с дисперсией σ коэффициент отношения примет вид:
K = (σ/E)^2 (8)

Коэффициент отношения не зависит от времени его вычисления.

Невероятно, но факт: слабый сигнал на фоне интенсивной помехи обнаружить проще, чем сильный.

Если принять во внимание, что обнаружение сигнала происходит на фоне внутреннего шума приемника, который имеет дисперсию σn и дискретизация сигнала происходит с дисперсией σd, которая определяется точностью представления вещественных чисел в конкретном процессоре, то коэффициент отношения запишется в виде:
K= √(σd^2+σn^2)/(σd^2+E^2) (9)

При отсутствии помехи σn = 0 и коэффициент корреляции примет вид:
Kmin = σd/√(σd^2+E^2) (10)

Минимальное значение коэффициента корреляции может быть вычислено заранее, т.к. оно зависит только от технических характеристик устройства.
Решающее правило запишется в виде:

Если K > Kmin, то принимается решение о наличии сигнала в принятой смеси сигнала и помехи. В противном случае принимается решение об отсутствии сигнала.

В принципе, для обнаружения сигнала на фоне интенсивной помехи достаточно использовать отношение корреляции

Спектральный метод позволяет получить информацию об особенностях интенсивной помехи и, тем самым, провести идентификацию постановщиков активных помех.


906-269-5477 позывной Ingar



P.S. Ряд (1) в действительности представляет собой разложение своими отсчетами непрерывной функции в дискретные моменты времени ∆t•n, в то время, как теорема Котельникова гласит, что [Web – версия учебного пособия “Теория сигналов и цепей” Википедия] “Любая непрерывная функция s(t), спектр которой ограничен частотой Fmax полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящие друг от дуга на интервал Δt = 1/2Fmax = π/ωmax”.
Однако, ряд (1) не требует выполнения ограничения на равномерный интервал времени. Кроме этого, ряд (1), в отличии от ряда Фурье, содержит конечное число членов и точно представляет непрерывную функцию при выполнении условия теорема Котельникова в виде Δt < 1/2Fmax.

[maxal]

Сообщение отделено от темы topic15465.html в Карантин. Для его возвращения, оформите формулы в соответствие с правилами форума. См. Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.