УЧП, контрпример

[Gortaur]

Всем привет. Помогите придумать контрпример. Задача такая:
есть функция $V(x,t)$ такая что $V(x,0) = h(x)$ и $V_t\geq \max\{0,L_X V\}$ где $L_X = \sum\limits_{ij}\sigma_{ij}\partial_{ij} + \sum\limits_{i}\mu_i \partial_i$ - диф. оператор второго порядка с гладкими коэффициентами. Нужно найти минимальную функцию $V$. Я утверждаю, что она существует и для нее выполнено

$$ V_t = \max\{0,L_X V\}. $$

Сам пока не смог придумать пример когда одно из утверждений (существование минимальной и равенство) не выполнено. минимальную я понимаю поточечно, т.е. для минимальной функции выполнено то, что она меньше либо равна каждому другому решению в каждой другой точке.

[svv]

Можно поставить вопрос так: всегда ли для данного оператора $L_X$ и начального условия $V(x,0) = h(x)$ существует функция $V(x, t)$ такая, что $V_t$ точно равно $\max\{0,L_X V\}$? Если существует, то она обязательно будет минимальной, так как у любой "меньшей" уже не будет выполнено условие $V_t\geq \max\{0,L_X V\}$. Если нет - значит, гипотеза неверна.

[Gortaur]

Допустим, существует. Почему для меньшей не будет выполнено это условие?

[Gortaur]

Удивительное совпадение - второй раз получаю такой ответ на этот вопрос. Но стоит спросить, почему если решение дифура существует, то оно минимально - и молчание :)

[svv]

Gortaur, возможно, я неправ, мне надо подумать.

[mihiv]

Предположение о том,что для минимальной функции должно выполняться равенство,выглядит правдоподобно.Пусть $L_X=\frac {\partial ^2}{\partial x^2},w(x,t)$-минимальная функция и для нее выполнено неравенство,тогда $w_t=w_{xx}+f(x,t)$,где $f(x,t)\geq 0$,предположим также,что существует функция $v(x,t)$,для которой выполнено равенство,т.е.$v_t=v_{xx}.$Тогда функция $a(x,t)=w(x,t)-v(x,t)$ удовлетворяет неоднородному уравнению теплопроводности $a_t=a_{xx}+f(x,t)$ с нулевым начальным условием.$f(x,t)$ имеет смысл плотности источников тепла.
Т.е. пришли к задаче о нагревании стержня с нулевой начальной температурой за счет источников тепла."Очевидно",что тогда $a(x,t)>0$,а это противоречит минимальности функции $w$.

[Gortaur]

Спасибо за пример правдоподобности - просто не может ли это оказаться, что выполнено только для спец. операторов навроде того, который привели Вы? Я подумаю, как подоказывать в этом направлении, но вопрос остается открытым.

-- Пт ноя 26, 2010 12:51:12 --

К тому же, насколько я понимаю, Вы взяли линейное неравенство, т.е.

$$ v_t\geq L_Xv, $$

тогда непонятно почему $f$ должна быть неотрицательной.

[mihiv]

Gortaur в сообщении #380674 писал(а):

К тому же, насколько я понимаю, Вы взяли линейное неравенство, т.е.

$$ v_t\geq L_Xv, $$

тогда непонятно почему $f$ должна быть неотрицательной.

Нет,я имел в виду неравенство,данное в условии.Но на том множестве значений $x$,где $h''(x)<0,v_t=0$,поэтому $v(x,t)\equiv h(x)$ и в силу минимальности там же $w(x,t)=h(x)$,а уравнение $v_t=L_Xv_{xx}+f(x,t)$ выполняется для тех $x$,где$h''(x)>0$,поэтому $f(x,t)\geq 0.$

[svv]

Gortaur, уточните, пожалуйста.
1. Можно ли рассматривать функции $v(x, t)$ в области $x \geqslant 0$, $t \geqslant 0$?

Gortaur писал(а):

минимальную я понимаю поточечно, т.е. для минимальной функции выполнено то, что она меньше либо равна каждому другому решению в каждой другой точке.

2. Меня смутили слова "в каждой другой точке", это противоречит моему пониманию слова "поточечно". Можно ли сказать так: "значение минимальной функции в точке меньше или равно значению любого другого решения в этой же точке"?

3. Пусть Вы построили функцию $v$, претендующую на минимальность, и это точное решение, $v_t = \max\{0,L_X v\}$, как того и требует Ваша гипотеза. Допустим, я в ответ привожу пример функции $w$, причем в некоторых точках $w(x, t)<v(x, t)$, но $w$ удовлетворет лишь неравенству $w_t \geqslant \max\{0,L_X w\}$. Опровергает ли такая моя $w$ утверждение о минимальности Вашей $v$?

4. И, естественно, все решения, минимальная функция, возможный контрпример должны удовлетворять одному и тому же начальному условию -- при $t=0$ они равны $h(x)$, верно?

Мне хотелось бы, чтобы все ответы были "да".

[Gortaur]

mihiv в сообщении #381033 писал(а):

Но на том множестве значений $x$,где $h''(x)<0,v_t=0$

По-моему, данное утверждение очень и очень неочевидно.

2 SVV
1. допустим, да :) в любом случае $t\geq 0$, а вот про $x$ нужно чтобы он был в области - положительная прямая для контрпримера подойдет.
2. да, значение минимальной функции в точке меньше или равно значению любого другого решения в этой же точке (минимальность нужна именно в этом смысле)
3. Да, опровергает (т.к. минимальная функция должна удовлетворять п.2)
4. да, начальное условие для всех решение одно и то же.

[sup]

А как насчет положительной определенности квадратичной формы оператора L ?
Насчет существования минимальной функции - правдоподобно.
А вот то, что она удовлетворяет уравнению - похоже что нет.
Вот одномерный пример. Пусть на отрезке $x\in[-1,1]$
$h(x)=x(1+x), x\in[-1,0]$
$h(x)=x(1-x), x\in[0,1]$
$L=\frac{\partial^2}{\partial x^2}$
Тогда, искомая "минимальная" функция $u(x,t)$вроде бы такая:
$u(x,t)=2t+x(1+x), x\in[-1,-\sqrt{t}]$
$u(x,t)=t+x(1-2\sqrt{t}), x\in[-\sqrt{t},\sqrt{t}]$
$u(x,t)=x(1-x), x\in[\sqrt{t},1]$
При $x=0$ $u_t=1$, а $u_{xx}=0$.
Вполне возможно, что такой эффект (линейная вставка) возникает в любой точке перегиба.

[Gortaur]

Хм, решения как задачи с подвижной границей? Существенно ли что $h$ не имеет непрерывной второй производной? Ведь равенство как раз нарушается при $u=h$ при $x=0$. Хотя даже если это существенно, все равно спасибо...

При чем тут положительная определнность квадратичной формы?

[svv]

Давайте рассмотрим мой пример, и если все будет OK, он станет "контр".

В области $x \geqslant 0$, $t \geqslant 0$ рассмотрим уравнение $v_t=v_{xx}$ с условием $v(x, 0)=e^{-x}$. Функция $v(x, t)=e^{t-x}$ является его решением и удовлетворяет начальному условию.
Я предполагаю, что $v(x, t)=e^{t-x}$ единственная функция, удовлетворяющая этому уравнению и начальному условию. Вы можете это подтвердить? - а то я могу только пробормотать "решение задачи Коши для уравнения теплопроводности, кажется, единственно".

Рассмотрим теперь уравнение $v_t = \max\{0, v_{xx}\}$. Наша функция удовлетворяет также и ему, но будет ли она и здесь единственным решением? Я думаю, да. Вот правдоподобное рассуждение, не претендующее на строгость. Пусть существует другое решение $u$. Если всюду в области $u_{xx} \geqslant 0$, то $\max\{0, u_{xx}\}=u_{xx}$, и $u_t=u_{xx}$, а этот случай рассмотрен в предыдущем абзаце, и там решение единственно -- противоречие. Значит, $u_{xx} \geqslant 0$ выполняется не всюду. Пусть $M$ -- множество точек области, для которых $u_{xx} \geqslant 0$, тогда найдется точка $(x_a, t_a) \notin M$, т.е. в которой $u_{xx}<0$. Так как при $t=0$ заведомо $u_{xx}>0$, точка $(x_a, 0) \in M$. Рассмотрим луч $x=x_a, t \geqslant 0$. На нём найдется "точная нижняя грань плохих точек", то есть такое $t_0$, что при всех $0 \leqslant t<t_0$ точка $(x_a, t)$ вместе с некоторой окрестностью принадлежит "хорошему" $M$ (и поэтому для $x=x_a$ и $0 \leqslant t<t_0$ функция $u$ совпадает с $e^{t-x}$), а при $t=t_0$ это неверно. Тогда $u_t= \max\{0, u_{xx}\}$ в точке $(x_a, t_0)$ имеет скачок, а это нехорошо.

Если вывод о единственности правильный, то $v(x, t)=e^{t-x}$ -- единственная возможная минимальная функция, для которой справедливо предположение $v_t = \max\{0, v_{xx}\}$.

Теперь рассмотрим функцию

$$w(x, t)=\left\{ \begin{array}{l} 2-(2-e^{-x})(1-t)^2, 0 \leqslant t \leqslant 1 \\ 2, t>1 \end{array} \right.$$

Она удовлетворяет начальному условию.
При $t \leqslant 1$ получаем: $w_t=(2-e^{-x}) 2 (1-t)$, $w_{xx}=e^{-x} (1-t)^2$. Так как $2-e^{-x}\geqslant e^{-x},$ а $2(1-t) \geqslant (1-t)^2$, то $w_t \geqslant w_{xx}$. Так как $w_{xx} \geqslant 0$, можно написать и $w_t \geqslant \max\{0, w_{xx}\}$.
При $t>1$ получаем: $w_t=0$, $w_{xx}=0$. Очевидно, $w_t \geqslant \max\{0, w_{xx}\}$.
На "стыке" $t=1$ функция $w$ непрерывна, $w_t$ также непрерывна. И для всей области $w_t \geqslant \max\{0,w_{xx}\}$.

Легко видеть, что при фиксированном $x$ для достаточно больших $t$ будет $2<e^{t-x}$, то есть $w(x, t)<v(x, t)$. Поскольку другой кандидатуры на $v(x, t)$ нет, я думаю, что это контрпример...

[sup]

Вы, вероятно, говорите о единственности задачи Коши НА ВСЕЙ ОСИ для ур-я теплопроводности. Но в Вашем примере полуось, а значит не хватает еще одного условия при $x=0$. Учитывая неубывание функции, получаем $u(0,t)=1$.
Таким образом, Ваш пример не годится. Однако, его можно подправить. И вполне в духе предыдущего. Пусть $X(t)$ решение уравнения

$$e^{t-x}=\frac{1}{1+x}.$$

Положим
$u(x,t)=1-\frac{x}{1+X(t)}, x \leqslant X(t)$
$u(x,t)=e^{t-x}, x \geqslant X(t)$
Опять таки, решение имеет линейную вставку.
Непрерывность второй производной в общем случае обеспечить вряд ли удастся. Тот пример с двумя кусками параболы легко подправить так,
чтобы вначале все было из $C^{\infty}(-1,1)$. Для этого, например, левый кусок сдвинем немного вниз, а правый - немного вверх. А потом на интервале $(-\epsilon,\epsilon)$ "нечетным образом загладим".
А вообще, заметьте ... Похоже, что возникают какие-то огибающие, в некотором смысле минимизирующие $\int {u_{xx}}^2dx$.
Может быть поискать чего-нибудь в этом направлении (минимизирующий функционал)? Откуда взялась эта задача? Неужели не важно направление времени (прямая и обратная параболичность. Это как раз к вопросу о положительной определенности).

[svv]

sup писал(а):

Вы, вероятно, говорите о единственности задачи Коши НА ВСЕЙ ОСИ для ур-я теплопроводности.

Да, именно так!

sup писал(а):

Но в Вашем примере полуось, а значит не хватает еще одного условия при $x=0$

Вот и рухнуло всё... А где-то на краю сознания витала мысль, что чисто физически важны краевые условия. От блин.

sup писал(а):

Таким образом, Ваш пример не годится. Однако, его можно подправить.

Спасибо!