Можно ли ОТО сделать скалярной теорий?

[Soshnikov_Serg]

Как известно, 'Как Вы яхту назовете — так она и поплывет'. Вот научились описывать гравитационное поле с помощью тензоров, она и стала тензорной теорией. Мало того, что уравнения по сложности — не приведи Господи, еще и количество их оставляет желать...
Как все могло бы упроститься, если бы метрический тензор можно было бы представить в виде:
(1) $g_{\mu \nu}=g_{\mu \nu}^{(0)}+\frac{\partial B}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial B}{\partial x^{\nu}}$
где $g_{\mu \nu}^{(0)}$ — тензор плоского пространства, а B — некая скалярная функция координат и времени. Такое разложение хоть и имеет тензорный характер, но не является ни универсальным, ни физически полным. И тем не менее...
Пространство
Пространство в ОТО — искривлено, но на бесконечности (вдали от тяготеющих масс) остается плоским. Математически его можно рассматривать как трехмерную поверхность, вложенную в 4-мерное плоское пространство. Введем в таком пространстве ось, обозначив ее литерой B, так, чтобы она была перпендикулярна поверхности 3-х мерного пространства на бесконечности. Тогда само физическое пространство можно описать как 3-х мерную поверхность, заданную функцией $B(x,y,z,t)$. Формально теперь квадрат элемента длины можно представить в виде суммы:
$dL^2+dB^2$
где $dL^2$ — квадрат элемента длины плоского пространства (на бесконечности). Чем больше $dB$ — тем больше отклонение пространства от плоского. Метрика такого пространства, понятно, будет максимально близка к (1).
Время
Ход времени так же определяется степенью отклонения пространства от плоского. Это обстоятельство довольно просто учесть, если представить метрику пространства-времени в виде:
(2) $ds^2=\frac{dL^2}{dL^2+dB^2}dT^2-dL^2-dB^2$
или, следующим образом:
$ds^2=\frac{1}{1+(\frac{dB}{dL})^2}dT^2-dL^2-dB^2$
Формула, конечно, отличается от(1), но все-таки определяется через одну-единственную скалярную функцию.
Простейший пример для такого представления метрики — конечно же, метрика Шварцшильда, для которой
$B=\sqrt{4 r_g (\sqrt{x^2+y^2+z^2}-r_g)}$
Вопрос
В чем может состоять ошибочность приведенных суждений. Ведь если такой подход может быть признан верным, то вся картинка ОТО может быть существенно упрощена, как в часть вариационного принципа, так и в части уравнений движения.
Еще
На всякий случай. О неуниверсальности такого представления. Некое обобщение представления Пенлеве. Предположим, что удается преобразованием координат сдвинуть начало отсчета времени следующим образом:
$ds^2=(\frac{dL}{\sqrt{dL^2+dB^2}}dT-dB)^2-dL^2-dB^2$
Тогда получаем:
(3) $ds^2=dT^2-(dL-\frac{dB}{\sqrt{dL^2+dB^2}}dT)^2-dL^2$

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #375784 писал(а):

Как известно, 'Как Вы яхту назовете — так она и поплывет'. Вот научились описывать гравитационное поле с помощью тензоров, она и стала тензорной теорией. Мало того, что уравнения по сложности — не приведи Господи, еще и количество их оставляет желать...

Это же не с потолка взято, а из принципа эквивалентности.

Soshnikov_Serg в сообщении #375784 писал(а):

Как все могло бы упроститься, если бы метрический тензор можно было бы представить в виде:
(1) $g_{\mu \nu}=g_{\mu \nu}^{(0)}+\frac{\partial B}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial B}{\partial x^{\nu}}$
где $g_{\mu \nu}^{(0)}$ — тензор плоского пространства, а B — некая скалярная функция координат и времени. Такое разложение хоть и имеет тензорный характер, но не является ни универсальным, ни физически полным.

Неуниверсальным - это слабо сказано. Если я не ошибаюсь, тензор кривизны для такой метрики получится нулевым, так что заменой координат возвращаемся к плоскому пространству-времении... Т.е. гравитация вообще исчезает.

[Munin]

Soshnikov_Serg в сообщении #375784 писал(а):

Мало того, что уравнения по сложности — не приведи Господи, еще и количество их оставляет желать...

Ничего сложного в них нет. Почитайте "Фейнмановские лекции по гравитации", убедитесь.

Soshnikov_Serg в сообщении #375784 писал(а):

Математически его можно рассматривать как трехмерную поверхность, вложенную в 4-мерное плоское пространство. Введем в таком пространстве ось, обозначив ее литерой B, так, чтобы она была перпендикулярна поверхности 3-х мерного пространства на бесконечности. Тогда само физическое пространство можно описать как 3-х мерную поверхность, заданную функцией $B(x,y,z,t)$.

Увы, вы только что похерили локальную лоренц-инвариантность. А эта вещь очень сильная, она доказана намного лучше, чем вообще вся гравитация вместе взятая.

Если хотите честного варианта, то это будет вложение 4-мерной поверхности пространства-времени в 39-мерное плоское пространство (http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Нэша_о_регулярных_вложениях ). Из-за того, что добавляемых размерностей очень много, то и вместо одной скалярной функции $B$ вы получите много-много скалярных функций, или одну многокомпонентную (векторную в вертикальном пространстве). После этого вы получите формулы внешней дифференциальной геометрии, которые при приведении к внутренней дифференциальной геометрии дадут те же формулы ОТО, то есть будут ровно соответствовать той же самой теории.

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #375871 писал(а):

Это же не с потолка взято, а из принципа эквивалентности.

Однако, одно дело - в наиболее общем виде стремиться описать гравитацию, с другой стороны - виделить в том же метрическом тензоре физически значимые составляющие...

epros в сообщении #375871 писал(а):

Если я не ошибаюсь, тензор кривизны для такой метрики получится нулевым, так что заменой координат возвращаемся к плоскому пространству-времении... Т.е. гравитация вообще исчезает.

Так я и не настаиваю на (1). Предлагаю (2)

-- Вт ноя 16, 2010 18:13:55 --

Munin в сообщении #375927 писал(а):

Увы, вы только что похерили локальную лоренц-инвариантность.

Ну-у, не заценил. С чего бы вдруг?

Munin в сообщении #375927 писал(а):

39-мерное плоское пространство

Не многовато-ли? Хотя... Другие вообще бесконечномерие предпочитают. А просто 4-х и просто для всего - недостаточно?

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #376004 писал(а):

Однако, одно дело - в наиболее общем виде стремиться описать гравитацию, с другой стороны - виделить в том же метрическом тензоре физически значимые составляющие...

Как Вы лихо - довольно произвольным образом выбрали нечто "физически значимое", а остальное, получается, математическая фикция? Логика ОТО построена на принятии принципа эквивалентности. Куда Вы собираетесь от этого деться? Эта логика диктует нам, что при любой метрике классические "силы тяготения" должны выражаться через компоненты связности, записанные в соответствующих координатах. Никаких ограничений на вид метрики (кроме сигнатуры) эта логика не накладывает. Откуде же они возьмутся?

[Munin]

Soshnikov_Serg в сообщении #376004 писал(а):

Ну-у, не заценил. С чего бы вдруг?

Хотя бы с того, что вы начали с некоторого разделения пространства-времени на пространство и время.

Soshnikov_Serg в сообщении #376004 писал(а):

Не многовато-ли?

Можете попытаться уменьшить оценку. Меня эти вопросы не колышут, я взял известную. В любом случае, произвольное 4-мерное псевдориманово многообразие не погружается ни в 4-мерное, ни в 5-мерное (псевдо)евклидово с сохранением метрики, а требует больше размерностей. Здесь низкоразмерная интуиция, когда 2-мерное многообразие изометрически погружается в 3-мерное евклидово (кстати, и это неверно, некоторые гладко не погружаются, например, тор без кривизны), оказывает медвежью услугу, лучше пользоваться точными результатами.

Вас, может быть, спровоцировало на эти мысли решение Шварцшильда, но оно по условиям получения - постоянное во времени. А если вы возьмёте любое решение, переменное во времени, натянуть на него свои идеи у вас не получится. Возьмите, например, Фридмана-Леметра или Де Ситтера (или анти-Де Ситтера, или НУТ, или Гёделя, или ещё чего-нибудь повеселее).

[Soshnikov_Serg]

Munin в сообщении #376057 писал(а):

Возьмите, например, Фридмана-Леметра...

Да, забавно может получиться. Если допустить, что удасться решить
$dB^2=f(T)*dL^2$
то перейти к
$ds^2=dt^2-a(t)^2 dL^2$
банально просто. Но тогда B напрочь исчезает. Надо подумать...

[pittite]

Часть сообщений этой темы по просьбе участников перенесена в тему "Римановы вложения".

[iig]

В первом приближении скалярный вариант гравитации вполне себя оправдывает. Вотт только попробуйте расчитать отклонение фотона при затмении - разница в 2 раза!
Так что антиэнштейны инфляцию имеют.

[Munin]

iig в сообщении #383233 писал(а):

В первом приближении скалярный вариант гравитации вполне себя оправдывает. Вотт только попробуйте расчитать отклонение фотона при затмении - разница в 2 раза!

Специально повторяю элементарные сведения из учебников для тех, кто их там не вычитал: в скалярном варианте отклонение света Солнцем вообще нуль. Разница в 2 раза - с векторным вариантом, а не со скалярным.

[bayak]

Munin в сообщении #383263 писал(а):

Специально повторяю элементарные сведения из учебников для тех, кто их там не вычитал: в скалярном варианте отклонение света Солнцем вообще нуль. Разница в 2 раза - с векторным вариантом, а не со скалярным.

Хорошо, но ведь векторный вариант может быть получен из скалярного потенциала. Боле того, и тензорный вариант может быть производным от скалярного потенциала. Почему Вы упускаете такую возможность?

[Munin]

Вы просто не знаете, что называется названиями "векторная теория", "скалярная теория".

[bayak]

Хорошо, тогда поставлю вопрос по-другому. Можно ли получить непротиворечащую опытным данным теорию, если, скажем, ограничить метрический тензор диагональными элементами (производными от скалярного потенциала)?

[Munin]

Понятия не имею, что вы имеете в виду под этим "ограничить".

[iig]

Если считать отклонение фотона по Солнцу из массы (фотона) по квантовой динамике будет разница в два разаза по релятивизму, которая проверена экспериментом.

-- 06 дек 2010, 22:10 --

Munin в сообщении #383399 писал(а):

Вы просто не знаете, что называется названиями "векторная теория", "скалярная теория".

Мне кажется, тут имеются приближения к более истинным теориям, например , к моей или Вашим