Решение дифура второго порядка с особенностью в нуле

[Xenia]

Уважаемые участники форума!
Имеется задача: $x^3 x'' = t^3$, $x(0) = 0$, $0 < t < 1$, $\int_0^1 x^2 dt \to \min$
Общие идеи по её решению и проблемы, с ним связанные:
Добавив один параметр (первую производную в нуле), будем каждый раз вычислять решение ОДУ (получим однопараметрическое множество решений), а потом находить значение интеграла на этом решении. Найти минимум интеграла не представляет особой трудности. Что же мне не нравится в решении:

Из-за особенности в нуле есть трудность в применении метода Рунге-Кутты. То есть метод применим, но из-за этой самой особенности погрешность становится непоправимо большой (для Рунге-Кутты 4ого порядка, например). Идея по устранению: найти асимптотическое разложение решения вблизи нуля, сказать, что около нуля решение ведёт себя именно так, "отойти" от этого самого нуля, а потом уже начать применять РК.

Вопрос: как найти асимптотическое разложение вблизи нуля решения уравнения $x^3$ $x'' = t^3$, $x(0) = 0$, $x'(0) = \lambda$ ?

от модератора AD:

Если поставить вокруг формул доллары, то получается гораздо красивее.
В следующий раз буду ругаться

[ИСН]

Ищите не x, а x/t - всё как-то полегче станет.

[paha]

есть частное решение $x=Rt^{5/4}$, где $R$ --некоторое число

м.б. получится доказать, что оно минимизирует интеграл?

-- Вт ноя 16, 2010 02:30:52 --

хотя, вроде бы нет... уже забыл как производные по начальным данным берутся((

[Xenia]

К сожалению, я делала решение с точностью около $O(h)$ разностной схемой, пока ориентировочно минимизация функционала происходит при $y' \approx 0.4$, и под это решение $\frac{2}{5^{1/4}} x^{5/4}$ не попадает.

Еще была идея отойти от нуля методом "$f(\delta) = \delta \cdot f'(0)$", но при этом для ошибки порядка $O(h^6)$ необходимо брать $\delta \approx h^6$, а при $h \approx 10^{-3}$ получается, что $\delta \approx 10^{-18}$, а это уже совсем никуда не годится.
В-общем, надо искать асимптотику, а как делать это для нелинейных ДУ я не знаю. Может, кто-нибудь посоветует просто хорошие книжки?

[V.V.]

А если сделать замену $t=e^s$, $x=z e^{5/4}$, а дальше варьировать два параметра у задачи Коши для получившегося уравнения?

[ИСН]

Xenia, Вы что понимаете под асимптотикой? Асимптотика в нуле есть $c\cdot t+o(t)$, за исключением случая, когда производная в нуле тоже ноль - тогда будет особое решение, упомянутое выше. Можно выписать до следующего порядка, и чо.

[Xenia]

Нельзя выписать до следующего порядка, у решения второй производной не существует. А вдруг есть хорошее приближение рядом с нулём, например, вида "нечто" + O(более высоких порядков), причём в этом нечто может иметь место, например, логарифм?

[paha]

V.V. в сообщении #375802 писал(а):

А если сделать замену $t=e^s$, $x=z(s) e^{5s/4}$

то получится уравнение второго порядка $z''+3z'/2=z/R^4-1/z^3$, которое сводится у уравнению первого порядка, но не интегрируется в квадратурах
но можно найти разложение $z=R(1+as+bs^2+\ldots)$ около постоянного решения

[mihiv]

Xenia в сообщении #375816 писал(а):

Нельзя выписать до следующего порядка, у решения второй производной не существует.

На самом деле,если $x'(0)=\lambda \ne 0$,то и $x''(0)\ne 0.$
Для малых $t,x(t)\approx \lambda t$,поэтому вблизи $0$ уравнение запишется в виде:$\lambda ^3t^3x''(t)\approx t^3.$Сокращая на $t^3$ и устремляя $t$ к $0$,получим $x''(0)=\frac 1{\lambda ^3}.$

[Xenia]

mihiv в сообщении #376189 писал(а):

Xenia в сообщении #375816 писал(а):

Нельзя выписать до следующего порядка, у решения второй производной не существует.

На самом деле,если $x'(0)=\lambda \ne 0$,то и $x''(0)\ne 0.$
Для малых $t,x(t)\approx \lambda t$,поэтому вблизи $0$ уравнение запишется в виде:$\lambda ^3t^3x''(t)\approx t^3.$Сокращая на $t^3$ и устремляя $t$ к $0$,получим $x''(0)=\frac 1{\lambda ^3}.$

Проблема в том, что предельный переход справедлив только в случае непрерывности справа второй производной в нуле, а утверждать, что это так, мы не имеем права.

[Padawan]

Если у производной существует предел справа, то существует и правая производная, равная этому пределу (при условии, что сама функция непрерывна в рассматриваемой точке).

[mihiv]

Xenia в сообщении #376759 писал(а):

Проблема в том, что предельный переход справедлив только в случае непрерывности справа второй производной в нуле, а утверждать, что это так, мы не имеем права.

Xenia,что мешает Вам определить вторую производную в нуле след. образом:$x''(0)=\lim \limits _{t\to +0}x''(t)=\frac 1{\lambda ^3}$ и искать решение среди функций с непрерывной второй производной в нуле?

[Xenia]

Кхм, спасибо всем участникам данного форума. В результате некоторой борьбы с собой было решено сузить класс задач, на которых производился поиск, и условно считать, что функция-решение принадлежит $C^5 [0,1]$.