исследовать на равномерную сходимость ряд

[PreVory]

Дан ряд: $\frac{\cos{(x\sqrt n)}\ln(1+\frac {x^2}n) }{\sqrt{1+x^2n}}$
Исследовать его на абсолютную и условную равномерную сходимость.

[gris]

косинус можно выкинуть. Оценить степень $n$ в знаменателе при больших $n$, а потом подумать о равномерности. Где - на произвольном отрезке или на всей оси?

[PreVory]

видимо всё же косинус выкидывать нельзя, т.к. требуется найти как область абсолютной равномерной сходимости, так и условной. Вроде удаётся показать, что на любом конечном отрезке сходится равномерно абсолютно. Т.е. требуется доказать, что он не сходится абсолютно на всей числовой оси. И проверить там на условную сходимость.

[gris]

Что это за условно-равномерная сходимость?
Для каждого $x$ ряд сходится абсолютно. Косинус ускоряет сходимость, но вот способствует ли равномерной сходимости на всей оси? С чего бы? $x$ ведь сверху торчит.

[PreVory]

ну ряд может сходится равномерно абсолютно и просто сходится равномерно. Для знакопеременных рядов из того, что абсолютно ряд сходился не равномерно не следует, что он сходится не равномерно. Поэтому имеет смысл исследовать его на равномерную сходимость(если конечно он не будет сходится абсолютно равномерно). Ну а условно-равномерная сходимость это когда ряд сходится равномерно, но не сходится абсолютно равномерно.
Там с абсолютной равномерной сходимостью то проблема в чём: мы сверху оценить косинус можем только единицей, а после этого получается ряд, который не сходится равномерно.
Вот если сначала доказать, что он просто сходится равномерно( в чём я не уверен), тогда сможем из этого доказать. что он не будет сходится абсолютно равномерно.

[MetaMorphy]

gris в сообщении #375664 писал(а):

Для каждого $x$ ряд сходится абсолютно.

Разве?

[gris]

A нет?
$\left |\dfrac{\cos{(x\sqrt n)}\ln(1+\frac {x^2}n) }{\sqrt{1+x^2n}}\right |\leqslant \left |\dfrac{\ln(1+\frac {x^2}n) }{\sqrt{1+x^2n}}\right |\sim\dfrac{\frac {x^2}n }{\sqrt{x^2n}}=\dfrac{|x|}{n^{3/2}}$

Ряд будет абсолютно сходиться на всей числовой оси, но вот насчёт равномерной сходимости - сомнения. Есть там теорема Харди, но я её не помню
Тут надо потщательнее. В голове разные примеры мельтешат, но как-то нет уверенности. Косинус, конечно, поспособствовал бы, если бы не $x$ в числителе.
Не знаю, честно.

[MetaMorphy]

Пардон, нуля испугался. Конечно, ряд абсолютно сходится.

(Оффтоп)

Насчёт равномерной сходимости сейчас подумаю.

[paha]

мне кажется, на отрезке, содержащем $x=0$ сходимость не будет равномерной... чтобы хвост ряда был меньше $\varepsilon$ надо очень большое $N(\varepsilon,x)$

[MetaMorphy]

paha: Вот как раз в окрестности нуля всё, как выяснилось, обстоит хорошо. Плохо всё на бесконечности.

[paha]

MetaMorphy в сообщении #375727 писал(а):

Плохо всё на бесконечности

и там большой $N(\varepsilon,x)$^)))

[PreVory]

для ряда $\frac{\ln(1+\frac {x^2}n) }{\sqrt{1+x^2n}}$ проблемы уже нет, потому что он сходится не равномерно, доказать не сложно по критерию Коши, но проблема в том, что из этого ничего не следует. А проделать подобные рассуждения для изначального ряда не удаётся, т.к. мешает косинус.
Думаю всё же следует оставить доказательство абсолютной не равномерной сходимости, а доказать прежде, что ряд сходится равномерно или не равномерно. Если мы докажем, что он сходится равномерно, то можно будет вывести что наш ряд сходился абсолютно не равномерно. Ну а если нет, то второе вообще нет смысла рассматривать.

[Padawan]

PreVory в сообщении #375790 писал(а):

для ряда $\frac{\ln(1+\frac {x^2}n) }{\sqrt{1+x^2n}}$ проблемы уже нет, потому что он сходится не равномерно, доказать не сложно по критерию Коши

Докажите

[PreVory]

Padawan в сообщении #375791 писал(а):

PreVory в сообщении #375790 писал(а):

для ряда $\frac{\ln(1+\frac {x^2}n) }{\sqrt{1+x^2n}}$ проблемы уже нет, потому что он сходится не равномерно, доказать не сложно по критерию Коши

Докажите

$\frac{\ln(1+\frac {x^2}{n+1}) }{\sqrt{1+x^2(n+1)}}+...+\frac{\ln(1+\frac {x^2}{n+p} )}{\sqrt{1+x^2(n+p)}}>\frac{p*\ln(1+\frac {x^2}{n+p} )}{\sqrt{1+x^2(n+p)}}$
если возьмём $p=n;x=\sqrt{2n}$ то: $\frac{n*ln2}{\sqrt{1+4n^2}}>\frac{ln2}{3}$ ну значит нашлось такое эпсилон. что для любого номера. нойдётся n больший его, натуральное p, х-действительное число, что...

[AD]

Люди! Я вас умоляю ... Ну где вы видели, чтобы умножение чисел обозначалось звёздочкой??

(Оффтоп)

Кроме кода на C++