Демидович 2386 (поле скоростей)

[caxap]

Найти дивергеницю и вихрь поля линейных скоростей точек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $Oz$ в направлении против хода часовой стрелки. (Ответ: $\mathrm{div}\,\vec v=0$, $\mathrm{rot}\,\vec v=2\vec \omega$, где $\vec\omega=\omega\,\vec k$.)

С дивергенцией получилось 0, как в ответе. А вот ротор не сходится.

$$\mathrm{rot}\,\vec v=\nabla\times(\vec \omega\times\vec r)=\vec \omega (\nabla\cdot \vec r)-\vec r (\nabla \cdot\vec\omega)$$

Тут $\vec r=(x,y,z)$ -- радиус-вектор точки.
$\nabla\cdot \vec r=1+1+1=3$.
$\nabla\cdot\vec \omega=0$, т. к. $\vec \omega=\overrightarrow{\mathrm{const}}$.
Получаем $\mathrm{rot}\,\vec v=3\vec\omega$. А должно быть две омеги. Что я делаю не так?

[ShMaxG]

caxap в сообщении #375046 писал(а):

$$\mathrm{rot}\,\vec v=\nabla\times(\vec \omega\times\vec r)=\vec \omega (\nabla\cdot \vec r)-\vec r (\nabla \cdot\vec\omega)$$

Правило "бац минус цаб" не применимо, когда имеем дело с операторами дифференцирования. Должно быть 4 слагаемых, а не 2. Посмотрите книжки.

[Padawan]

В координатах посчитайте. В Википедии вот такая формула
$\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}$

[caxap]

Padawan в сообщении #375056 писал(а):

Правило "бац минус цаб" не применимо, когда имеем дело с операторами дифференцирования.

А это единственное правило, которое не применимо с наблой? Просто часто видел, как работаю с наблой как с обычным вектором. А тут вдруг "бац минус цаб" не работает. А почему?

Padawan
Ой, какая сложная. Такую не запомнишь. Луче через координаты буду расписывать.

-------
И ещё небольшая задачка: найти дивергенцию и вихрь градиента скалярного поля $U$.

"Законно" ли такое решение: $\nabla\cdot(\nabla U)=(\nabla\cdot \nabla)U=\nabla^2 U$, $\nabla\times (\nabla U)=(\nabla\times\nabla)U=0$ ?

[moscwicz]

ну накрутили!

$v_B=v_A+[\omega,AB]$

[ShMaxG]

caxap в сообщении #375059 писал(а):

А это единственное правило, которое не применимо с наблой?

Честно -- не знаю, не интересовался

caxap в сообщении #375059 писал(а):

Просто часто видел, как работаю с наблой как с обычным вектором. А тут вдруг "бац минус цаб" не работает.

Вот я себя изначально в свое время настроил, что все куда хитрее, и незачем думать, что все как у векторов.

caxap в сообщении #375059 писал(а):

А почему?

Ну потому что дифференцирование -- это не просто приписывание оператора рядышком с буквой, как будто это умножение. Производная произведения дробится на 2 слагаемых. Отсутствие коммутации...

-- Вс ноя 14, 2010 17:16:49 --

caxap в сообщении #375059 писал(а):

$\nabla\cdot(\nabla U)=(\nabla\cdot \nabla)U=\nabla^2 U$

Ну это-то само по себе очевидно и верно.

caxap в сообщении #375059 писал(а):

$\nabla\times (\nabla U)=(\nabla\times\nabla)U=0$

Как и это.

Но тут какой-то особенности и неоткуда взяться, ибо имеете дело только с одной функцией $U$...

[caxap]

ShMaxG
Ясно.

[ewert]

caxap в сообщении #375046 писал(а):

А вот ротор не сходится.

$$\mathrm{rot}\,\vec v=\nabla\times(\vec \omega\times\vec r)=\vec \omega (\nabla\cdot \vec r)-\vec r (\nabla \cdot\vec\omega)$$

Тут $\vec r=(x,y,z)$ -- радиус-вектор точки.
$\nabla\cdot \vec r=1+1+1=3$.
$\nabla\cdot\vec \omega=0$, т. к. $\vec \omega=\overrightarrow{\mathrm{const}}$.
Получаем $\mathrm{rot}\,\vec v=3\vec\omega$. А должно быть две омеги. Что я делаю не так?

Вы неправильно интерпретируете последнее слагаемое. Надо так:

$-\vec r (\nabla \cdot\vec\omega)\equiv-(\vec\omega \cdot\nabla)\vec r=-\Big(\sum\limits_i\omega_i\frac{\partial}{\partial x_i}\Big)\sum\limits_kx_k\vec e_k=-\sum\limits_i\omega_i\vec e_i=-\vec\omega$

(формально слагаемых должно быть действительно четыре, но фактически их только два, поскольку омега всё-таки постоянна).

Вообще на будущее (если вдруг угловая скорость всё-таки не постоянна) -- в подобных случаях следует из возможных выбирать ту форму записи, в которой все множители стоят после оператора дифференцирования и писать примерно так:

$\mathrm{rot}\,\vec v=\nabla\times(\vec \omega\times\vec r)=\vec \omega (\nabla\cdot \vec r)-\vec r (\nabla \cdot\vec\omega)=(\nabla\cdot \vec r)\vec \omega - (\nabla \cdot\vec\omega)\vec r=$

$=(\nabla\cdot \dot{\vec r})\vec \omega+(\nabla\cdot \vec r)\dot{\vec\omega} - (\nabla \cdot\dot{\vec\omega})\vec r- (\nabla \cdot\vec\omega)\dot{\vec r}\equiv $

$\equiv\omega\,\mathop{\mathrm{div}}\vec r}+( \vec r\cdot\nabla)\vec\omega - \vec r\mathop{\mathrm{div}}\vec\omega- (\vec\omega \cdot\nabla)\vec r\,, $

где во второй строке точками помечены те множители, которые в этих местах фактически дифференцируются, а потом недифференцируемые сомножители перемещены обратно влево за знак оператора, чтобы необходимости в точках уже не было. Тогда всё достаточно просто.

[caxap]

ewert в сообщении #375078 писал(а):

Вообще на будущее

Ага, спасибо. Я уже и сам придумал аналогичное "мнемоническое" правило: сначала нужно записать "наивную" версию (напр. обычный "бац минус цаб"), а затем расписать каждое слагаемое с учётом того, что набла хочет применится к каждому множителю.

$$\nabla\times(\vec a\times\vec b)=\Big[{\scriptstyle \vec a(\nabla\cdot\vec b)-\vec b(\nabla\cdot \vec a)}\Big]= \left(\vec a(\nabla\cdot\vec b)+(\vec b\cdot \nabla)\vec a\right)-\left(\vec b(\nabla\cdot \vec a)+(\vec a\cdot \nabla)\vec b\right)\,. $$