Опять непонятки с теоремой Цермело

[caxap]

1. Множество не более чем счётно, если все его элементы можно пересчитать. Т. е. "первый", "второй" и т. д. Так?
2. Во вполне упорядоченном множестве для каждого элемента $x$ есть непосредственно следующий элемент $y>x$ (причём не существует такого $z$, что $x<z<y$). Так?
3. Теорема Цермело говорит, что любое множество можно вполне упорядочить. Так?
4. Берём любое множество, вполне упорядовиваем, минимальный элемент назовём первым, следующий -- вторым, и т. д. Получаем, что любое множество не более чем счётно.

Знаю, что бред. Но что я делаю не так?

[Dan B-Yallay]

caxap в сообщении #374118 писал(а):

1. Множество не более чем счётно, если все его элементы можно пересчитать. Т. е. "первый", "второй" и т. д. Так?
2. Во вполне упорядоченном множестве для каждого элемента $x$ есть непосредственно следующий элемент $y>x$ (причём не существует такого $z$, что $x<z<y$). Так?

Знаю, что бред. Но что я делаю не так?

Бред в п.2.

Определение (линейно) вполе упорядоченного множества (по Александрову):

Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, усли каждое его непустое подмножество содержит первый элемент.

[caxap]

Dan B-Yallay в сообщении #374131 писал(а):

Бред в п.2.

Верещагин, Шень. "Начала теории множеств", \S2.4

Цитата:

Для каждого элемента $x$ вполне упорядоченного множества (кроме наибольшего) есть непосредственно следующий за ним элемент $y$ (это значит, что $y>x$, но не существует$z$, для которого $y>z>x$). В самом деле, если множество всех элементов, больших $x$, непусто, то в нём есть минимальный элемент $y$, который и будет искомым. Такой элемент логично обозначать $x+1$, следующий за ним -- $x+2$ и т. д.

[Joker_vD]

caxap в сообщении #374118 писал(а):

4. Берём любое множество, вполне упорядовиваем, минимальный элемент назовём первым, следующий -- вторым, и т. д.

А вы уверены, что вы все элементы занумеруете?

[paha]

caxap в сообщении #374118 писал(а):

Берём любое множество, вполне упорядовиваем, минимальный элемент назовём первым, следующий -- вторым, и т. д.

никто не сказал, что Вы таким способом исчерпаете всё множество:))
иными словами никто не запрещает элементу множества сидеть за такой "стенкой", что до него не достучаться

[Виктор Викторов]

caxap в сообщении #374118 писал(а):

1. Множество не более чем счётно, если все его элементы можно пересчитать. Т. е. "первый", "второй" и т. д. Так?

Это жуткое определение. Что такое пересчитать? Дайте нормальное определение.

caxap в сообщении #374118 писал(а):

2. Во вполне упорядоченном множестве для каждого элемента $x$ есть непосредственно следующий элемент $y>x$ (причём не существует такого $z$, что $x<z<y$). Так?

caxap в сообщении #374139 писал(а):

Верещагин, Шень. "Начала теории множеств", \S2.4

Цитата:

Для каждого элемента $x$ вполне упорядоченного множества (кроме наибольшего) есть непосредственно следующий за ним элемент $y$ (это значит, что $y>x$, но не существует$z$, для которого $y>z>x$). В самом деле, если множество всех элементов, больших $x$, непусто, то в нём есть минимальный элемент $y$, который и будет искомым. Такой элемент логично обозначать $x+1$, следующий за ним -- $x+2$ и т. д.

Но у элемента во вполне упорядоченном множестве не обязан быть наибольший предыдущий. В частности $\omega$ не имеет наибольший предыдущий. Смотрите П. С. Александров "Введение в теорию множеств и общую топологию". Страница 68. И прочитайте весь параграф 3. Страницы 62-69.

caxap в сообщении #374118 писал(а):

3. Теорема Цермело говорит, что любое множество можно вполне упорядочить. Так?
4. Берём любое множество, вполне упорядовиваем, минимальный элемент назовём первым, следующий -- вторым, и т. д. Получаем, что любое множество не более чем счётно.

Внимательно читаем П. С. Александров "Введение в теорию множеств и общую топологию". Параграф 5. Страницы 78.

[caxap]

paha в сообщении #374160 писал(а):

никто не сказал, что Вы таким способом исчерпаете всё множество:))

А... Вон оно чё! Спасибо!

-- менее минуты назад --

Действительно, уже в $\omega+1$ мы никогда не доберёмся до последней единицы...

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Что такое $\omega$, объясните кто-нибудь (хотя бы в ЛС).

[Виктор Викторов]

Joker_vD в сообщении #374199 писал(а):

Что такое $\omega$, объясните кто-нибудь.

$\omega$ -- ординал множества натуральных чисел в его естественном порядке.