О проблеме делителей

[Бодигрим]

Обозначим через $\tau(n)$ арифметическую функцию, равную числу делителей $n$. Хорошо известна теорема о поведении этой функции в среднем:

$$ \sum_{n\le x} \tau(n)= x \log x + (2\gamma-1) x + O(x^{\theta}). $$

Классический результат об остаточном члене этой формулы, принадлежащий Дирихле, утверждает, что можно взять $\theta=1/2$. Затем в 1903 году Вороной улучшает эту оценку до $\theta=1/3$. Ван дер Корпут уменьшает $\theta$ до $0{,}33$, Виноградов - до $0{,}32075$, Иванец и Мозоччи - $0{,}31818$. Новейший известный мне результат - Хаксли, 2003, $\theta=0{,}31490+\varepsilon$.

Известны ли какие-либо теоремы, доказательства которых бы существенно требовали использовать улучшенные оценки $\theta$? Которые бы не работали при $\theta=1/3$, но работали бы, скажем, при $0{,}33$.