Изоморфизм групп C4 и Z*/10Z

[sasha_vertreter]

Добрый день,
А можно такой вот вопрос: если мне нужно доказать, что группа $G(\{1,3,7,9\} , \otimes_{10})$ изоморфна циклической группе $C_4$ (вот именно так - общей циклической группе с элементами скажем $a , b=a^2, c=ab=a^3, e=a^4=b^2$) , то можно ли сказать, что отображение $\tau$ такое, что $1 \mapsto e$, $3 \mapsto a$, $7 \mapsto b$, $9 \mapsto c$ и задает необходимый изоморфизм а дальше доказывать, что это действительно изоморфизм, рассамтривая все 6 вариантов типа $\tau(1 \otimes_{10} 3) = \tau(3)=a = e\cdot a = \tau(1)\tau(3)$ и 6 вариантов в другую? (просто я как-то не вижу как написать красивую аналитическую формулу, а другие эквивалентные формулировки критерия изоморфизма групп на память не приходят).

Спасибо!

[Padawan]

$1=3^0$, $3=3^1$, $9=3^2 \mod 10$, $7=3^3 \mod10$.

[VAL]

sasha_vertreter в сообщении #373364 писал(а):

Добрый день,
А можно такой вот вопрос: если мне нужно доказать, что группа $G(\{1,3,7,9\} , \otimes_{10})$ изоморфна циклической группе $C_4$ (вот именно так - общей циклической группе с элементами скажем $a , b=a^2, c=ab=a^3, e=a^4=b^2$) , то можно ли сказать, что отображение $\tau$ такое, что $1 \mapsto e$, $3 \mapsto a$, $7 \mapsto b$, $9 \mapsto c$ и задает необходимый изоморфизм а дальше доказывать, что это действительно изоморфизм

Нет нельзя!
Трижды три будет все же девять, а не не семь :) Даже в мультипликативной группе кольца $\mathbb{Z}_{10}$.
В Вашем случае ключевым является то, что группы циклические (и одного порядка).
Поэтому достаточно отобразить порождающий элемент одной, в порождающий элемент другой (любой из двух), а остальное все само получится.

[sasha_vertreter]

VAL в сообщении #373382 писал(а):

Поэтому достаточно отобразить порождающий элемент одной, в порождающий элемент другой (любой из двух), а остальное все само получится

то есть я могу написать $\tau : 3 \mapsto a$ (или $\tau : 3^s \mapsto a^s$ ? ) а потом что-то вроде:
$\tau(3^k \otimes_{10} 3^p)=\tau(3^{k+p})=a^{k+p}=a^k \cdot a^p=\tau(3^k)\cdot\tau(3^p)$
- только я думаю это наверно недостаточно (или совсем) нестрого/ неверно?

[Xaositect]

sasha_vertreter в сообщении #373399 писал(а):

- только я думаю это наверно недостаточно (или совсем) нестрого/ неверно?

Почему нестрого/неверно?
Отобразив $3^k\mapsto a^k$, а также учитывая то, что любой элемент есть $3^k$ или $a^k$, получаем, что умножение сохраняется. Остается сказать, что такое отображение вообще существует, т.е. если $3^k=3^p$, то $a^k = a^p$. Это тоже очевидно.

[sasha_vertreter]

Да, все понял. Спасибо!