Оптимизация

[Gortaur]

Всем привет. Есть задача:

$$ w_t(t,x)\geq \max\{0,w_{xx}(t,x)\} $$

с начальными условиями $w(0,x) = h(x)$. Нужно найти минимальную функцию $w$. Верно ли, что для нее выполняется

$$ w_t(t,x) = \max\{0,w_{xx}(t,x)\}? $$

У меня получается только доказать, что для минимальной функции $w_t(0,x) = \max\{0,w_{xx}(0,x)\}$. Если удастся показать, что это выполнено на хоть каком-нибудь интервале $[0,\varepsilon]$ - вроде дело в шляпе. Может подкинете идею?

[Хорхе]

1) В каком смысле минимальную?
(Впрочем, наверноее, понятно, в каком, так решения вроде образуют решетку.)

2) А почему она вообще существует такая минимальная? Правильный вопрос: а почему вообще существует решение уравнения? Если оно существует, то является минимальным.

[Gortaur]

1. существование минимального решения следует из другой интерпретации, имеется ввиду функция, минимальная во всех точках, т.е. такая $w$, что для любого решения $v$ данного неравенства мы имеем $w\leq v$.

2. допустим, существует. как доказать, что оно минимально? и почему оно может не существовать, правая часть некрасивая? так она по крайней мере липшицева.

[roma2000]

можно пару вопросов?
как читается это выражение?

$$ w_t(t,x)\geq \max\{0,w_{xx}(t,x)\} $$

если это постановка задачи, то тогда наверное это читается следующим образом -
определить значение w, аргументами которого являются x и t, которое больше или равно максимального элемента множества ({}-ведь так множество элементов записывается?), которое содержит элементы от 0 до ....?

[Gortaur]

Рома2000, к сожалению непонятно, что Вы имели ввиду Вашим вопросом. По крайней мере $ $ смотрятся не к месту. Имеется ввиду максимум одного из двух элементов - $0$ и второй производной функции. что из них больше, то и будет нижней границей для производной по времени.

Хорхе, не подскажете как доказать, что это решение оптимально?

[mihiv]

По крайней мере в частном случае такую функцию можно найти,а именно,если всюду $h''(x)\leq 0$,то $w_{min}(x,t)=h(x)$,для нее $w_{t}(x,t)=0$

[Gortaur]

mihiv
Вы правы, разумеется, но это как раз случай неинтересный и очевидный. Интересно натянуть выпуклую оболочку на невыпуклую функцию, например на синус.