Борелевское отображение

[Padawan]

Пусть $\varphi\colon K\to M$ -- отображение между компактными метрическими пространствами. Известно, что для любой непрерывной функции $f\colon M\to [0,1]$ функция $f\circ\varphi\colon K\to [0,1]$ является борелевской на $K$. Доказать, что $\varphi$ -- борелевское отображение.

[Хорхе]

(Оффтоп)

Для замкнутого $F\subset M$ возьмем прообраз нуля при $f\circ \varphi$, $f(x)=d(x,F)/\mathrm{diam}\, M$. Всё?

[Padawan]

Да, Тупая задачка.