Поверхностная и объемная плотность

[kkar]

Как связаны поверхностная и объемная плотность заряда? Я решаю след.задачу: плоскость z=0 заряжена с поверхностной плотностью $\sigma=\sigma_0 Sin(\alpha x) Sin(\beta y)$, найти потенциал этой системы зарядов.
Я так понимаю, что надо воспользоваться уравнением Пуассона, но в нем фигурирует объемная плотность, как к ней перейти, подскажите, пожалуйста.

[Himfizik]

Вы решаете задачу в двух полупространствах, где зарядов нет, то есть нужно использовать уравнение Лапласа, а не Пуассона. Поэтому объемной плотности в уравнениях не должно быть. А поверхностная плотность зарядов будет учитываться в граничных условиях на плоскости (скачок нормальных компонент электрического поля равен $4 \pi \sigma$). Ну еще нужно использовать, что потенциал в пределе при бесконечном $z$ (сверху от плоскости и снизу) равен нулю. Ну и конечно непрерывность потенциала при переходе через плоскость (что следует из непрерывности тангенциальной компоненты электрического поля). Задача довольно просто решается методом разделения переменных.

[kkar]

Запишу все, что Вы сказали:
$\Delta \phi=0, \quad E_2_n-E_1_n=4\pi \sigma,\quad \phi(z=\infty)=0$.
Пока что непонятно, как подступиться к такому уравнению.

[ewert]

kkar в сообщении #373219 писал(а):

Пока что непонятно, как подступиться к такому уравнению.

То, что ноль на бесконечности -- пока не важно. Пока что просто поищите решение в виде $\varphi(x,y,z)=u(x)v(y)w(z)$. Вот так, ни с того ни с сего -- просто возьмите и поищите, а вдруг повезёт; именно это Himfizik Вам и рекомендовал. Для начала подставьте граничное условие (про скачок нормальной производной; ну и с учётом симметрии поля относительно отражения относительно плоскости, конечно). А потом делайте дальнейшие выводы, они уж последуют автоматически. (Да, потом убывание на бесконечности задействовать действительно придётся, но это уж ближе к самому концу.)

[Himfizik]

Ищете потенциал в виде произведения трех функций: $\phi =f_1(x)*f_2(y)*f_3(z)$. Подставляете в уравнение Лапласа. Делите это уравнение на $\phi$. Видите, что переменные разделились, то есть у вас сумма дробей ( каждая из которых функция только от одной переменной) равна нулю. Тогда говорите, что каждая из этих дробей есть константа (так как каждая из них не зависит от переменных двух других дробей), причем сумма этих констант равна нулю. Так что можете ввести две константы разделения, а третья равна сумме первых двух, взятой с минусом. Затем исходя из отделившихся уравнений на каждую из функций $f_1, f_2, f_3$ и граничных условий, находите (можно сказать угадываете) вид этих функций.
Подсказка: почти очевидно заранее, что $f_3(z)=\exp(\gamma |z|)$.

Вообще, почитайте где-нибудь про метод разделения переменных. Полезная штука однако...

[ewert]

(Оффтоп)

Himfizik в сообщении #373229 писал(а):

про метод разделения переменных. Полезная штука однако...

Но, к сожалению, бессмысленная (как метод)...

[kkar]

Получилось вот что:
$f_1''=c_1 f_1, f_2''=c_2 f_2, f_3''=(-c_1-c_2) f_3$, а граничное условие преобретает вид (верно?):
$\frac{\partial \varphi_1}{\partial z}-\frac{\partial \varphi_2}{\partial z}=4\pi\sigma$, где $\varphi_1$ - потенциал там, где z>0, и наоборот.
С учетом подсказки Himfizik, а именно того, что $f_3=e^{-\gamma z}$ для верхней полуплоскости (видимо это потому, что плоскость содержит разноименно заряженные участки), получаем:
$-\gamma f_1 f_2 e^{-\gamma z}-\gamma f_1 f_2 e^{\gamma z}=4\pi\sigma$.
А как быть с таким уравнением? Отсюда вид $f_1,f_2$ не очень-то угадывается...

[Himfizik]

Посмотрите, какие решения могут быть у разделившихся уравнений на $f_i$. И выберете те, которые не противоречат физике задачи (гран условия и т.д.). Посмотрите на вид вашей $\sigma $, может быть есть смысл поискать решения для $f_i$ в виде похожих тригонометрических выражений?!

[Zai]

Цитата:

$\sigma=\sigma_0 Sin(\alpha x) Sin(\beta y)$

$\sigma(x,y)=\sigma_0 Sin(\alpha x) Sin(\beta y)=\frac 1 2 (\cos(\alpha x-\beta y)-\cos(\alpha x+\beta y))$
Решение $E(x,y,z)= -4\pi\frac {\sigma(x,y)} {\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} e^{-\sqrt{\alpha^2+\beta^2}z}$

[Himfizik]

ewert в сообщении #373233 писал(а):

Но, к сожалению, бессмысленная (как метод)...

Ну тут как посмотреть. Этим, как вы выразились, "бессмысленным" методом решается множество задач математической физики.

-- Чт ноя 11, 2010 17:39:13 --

Zai в сообщении #373393 писал(а):

Цитата:

$\sigma=\sigma_0 Sin(\alpha x) Sin(\beta y)$

$\sigma(x,y)=\sigma_0 Sin(\alpha x) Sin(\beta y)=\frac 1 2 (\cos(\alpha x-\beta y)-\cos(\alpha x+\beta y))$
Решение $E(x,y,z)= -4\pi\frac {\sigma(x,y)} {\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} e^{-\sqrt{\alpha^2+\beta^2}z}$

kkar
Ну теперь вообще, исходя из этой подсказки (и всех ранее сделанных), способ поиска решения функций $f_i$, просто очевиден до безобразия... Решение легко угадывается исходя из граничных условий...

[dvorkin_sacha]

Himfizik в сообщении #373495 писал(а):

ewert в сообщении #373233 писал(а):

Но, к сожалению, бессмысленная (как метод)...

... Этим ... "бессмысленным" методом решается множество задач математической физики.

И не только мат. физики.

[kkar]

Himfizik , уже нашел решение, еще до последней подсказки, спасибо Вам, и всем подсказчикам!