Численные матоды. Система нелинейных интегральных уравнений.

[Orange]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане.

Подскажите, где можно найти методы численных решений систем нелинейных интегральных уравнений.
В частности меня интересует решение следующей задачи:
$\\ a(\textbf{k},x)&=f(\textbf{k},x)+\int d^{3}\textbf{p}F_{1}(a(\textbf{p},x),b(\textbf{p},x);\textbf{k},x) \\ b(\textbf{k},x)&=f(\textbf{k},x)+\int d^{3}\textbf{p}F_{2}(a(\textbf{p},x),b(\textbf{p},x);\textbf{k},x) $
Параметр $x$ определяется из
$\int d^{3}\textbf{k} F_{3}(a(\textbf{k},x)b(\textbf{k},x))=g(x)$
где $g(x)=P_{2}(x)/P_{3}(x)$ имеет дробно-рациональный вид в моём случае, а функции $F_{1}, F_{2} и F_{3}$ имеют достаточно сложный вид, так что приводит их, наверное, смысла нет.

На мой взгляд случай экзотический, поэтому в учебниках или справочниках такого не найти скорее всего, может быть в каких нибудь математичкеских жарналах? Если кто знает, подскажите, пожалуйста. Благодарю!

[Gortaur]

В английской литературе искали?

[Orange]

В рамках университетской библиотеки ничего полезного не нашёл.
Можете чего-то подсказать из английской литературы?

[Gortaur]

Могу посмотреть, позже отпишусью

[Orange]

Ну что, господа математики, что вы можете предложить физикам, касательно подобного рода проблемам?

[nestoklon]

А обычный метод конечных элементов вас не устраивает по каким-то причинам или просто не нашли книжки?

[Orange]

Можете подсказать литературу?

[nestoklon]

Честно говоря, я не спец, да и вообще не математик.
Мне понравилась эта книжка. Там про интегральные вроде нет. Но понять как действовать кажется можно.

А если изучить что даёт гугл на такой запрос -- не помогает?

[nestoklon]

Да, и расскажите больше про задачу и может быть вкратце свойства функций. Это может быть важнее, чем кажется.

Ещё это немного напоминает ряды, получающиеся в теории возмущений. Не исключено, что сработают простые итерации (берём сначала $a=b=f$, подставляем в уравнение и тупо итерируем пока не сойдётся).

[Orange]

Спасибо за ссылку, обязательно посмотрю!
Про метод Галёркина я слышал, но не подозревал, что он может иметь отношение к подобного рода задачам.

Уравнения выглядят след. образом
$\\ a(\textbf{k})&=&\frac{\Psi(\textbf{k})}{x+1}+\int\frac{d^{3}\textbf{p}}{(2\pi)^{3}}((\Phi(\textbf{k}+\textbf{p})+x\Phi(\textbf{k}))\alpha(\textbf{p})+(x\Phi(\textbf{k})-\Phi(\textbf{p}))\beta(\textbf{p})) \\ b(\textbf{k})&=&\frac{\Psi(\textbf{k})}{x+1}+\int\frac{d^{3}\textbf{p}}{(2\pi)^{3}}(\Phi(\textbf{k}+\textbf{p})-\Phi(\textbf{p}))\beta(\textbf{p}). \\ \int\frac{d^{3}\textbf{p}}{(2\pi)^{3}}(\alpha(\textbf{p})+\beta(\textbf{p}))=\frac{P_{2}(x)}{P_{3}(x)}\\ \alpha(\textbf{k})&=&\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b(\textbf{k})}{a(\textbf{k})}}\coth\frac{\sqrt{a(\textbf{k})b(\textbf{k})}}{2T}-\frac{1}{2} \\ \beta(\textbf{k})&=&\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a(\textbf{k})}{b(\textbf{k})}}\coth\frac{\sqrt{a(\textbf{k})b(\textbf{k})}}{2T}-\frac{1}{2}\\ \Psi(\textbf{k})=2\sum_{\textbf{a}}j_{\textbf{a}}^{-}(\cos(\textbf{ka})-1) \\ \Phi(\textbf{k})&=&(U+2\sum_{\textbf{a}}j_{\textbf{a}}^{+}\cos(\textbf{ka})) $
интегрирование проводится в пределах $p_{x}, p_{y}, p_{z}\in (-2\pi, 2\pi)$.

[Gortaur]

Советую Вам сделать следующие запросы в гугле
- nonlinear integral systems numerical methods
- nonlinear integral equations numerical methods
на первой же странице есть много статей, среди них думаю и те, которые могут Вам помочь. Понимаю, что гугл это банально, но начать оттуда по-моему неплохая идея. Если есть знание английского, советую попробовать почитать - обычно первые страницы три очень сложно если нет опыта, потом гораздо легче.

[Orange]

nestoklon в сообщении #373852 писал(а):

Не исключено, что сработают простые итерации (берём сначала $a=b=f$, подставляем в уравнение и тупо итерируем пока не сойдётся).

Простые итерации не срабатывают. Думаю надо попробовать метод Галёркина, а перед этим воспользоваться последним советом Gortaur.
Благодарю за помощь!