собственные значения

[giallorosso]

скажите пожайлуста,есть ли алгоритм поиска собственных значений тензора 4го ранга?

[Александр Т.]

Имеются в виду такие $\lambda$, для которых существует тензор второго ранга $S_{kl}$ (собственный тензор тензора четвертого ранга $T_{kl}^{..ij}$) такой, что

$$ T_{kl}^{..ij}S_{ij} = \lambda S_{kl} ? $$

Тогда, если индексы пробегают значения от 1 до $N$, рассматривайте $S_{kl}$ как вектор в пространстве с размерностью $N^2$ и находите собственные значения оператора в этом пространстве, который представляется тензором $T_{kl}^{..ij}$. Вот и весь алгоритм. (Если $T_{kl}^{..ij} \neq T_{..kl}^{ij}$, то собственные числа могут быть комплексные.)

(Оффтоп)

Давно догадывался, что можно обобщить понятия собственных чисел и собственных векторов для тензоров четных рангов, но не мог представить себе, где это может применяться. Вам-то зачем это нужно, если не секрет?

[giallorosso]

мне это при решении задачи теории вомущений с кучей квнтовых чисел понадобилось.Там просто получается матричный элемент возмущения,зависящий от 4х квантовых чисел.
Вот только вопрос в том,как Ваш алгоритм реализовать на компьютере

[Александр Т.]

giallorosso в сообщении #372668 писал(а):

Там просто получается матричный элемент возмущения,зависящий от 4х квантовых чисел.

Вы уверены, что у Вас тензор четвертого ранга, а, например, не матрица с элементами в виде матриц? (Для последней, впрочем, все, сказанное мной про собственные числа, остается в силе.)

Цитата:

Вот только вопрос в том,как Ваш алгоритм реализовать на компьютере

Если напишете в каком виде у Вас в компьютере представлен этот тензор или то, что Вы называете тензором, то, наверное, смогу сказать как. (Предполагается, что реализовать алгоритм нахождения собственных чисел квадратной матрицы на компьютере, Вы сами сможете.)

P.S. Предполагается также, что число элементов всех матриц — конечное. Ну и еще, что все индексы пробегают одинаковое число значений.

[giallorosso]

ну у меня есть элемент оператора возмущения V(nklm),где каждый из 4х индексов пробегает значения от 1 до 10ти.Значения всех элементов матрицы известны.Вот надо найти собственные числа этой матрицы.И кстати,да,помоему насчет тензора я переборщил,это вроде и есть матрица с элементами-матрицами.Ну а алгоритм нахождения собственных чисел обычной матрицы nxn в том же матлабе встроен.Спасибо.

[Александр Т.]

giallorosso в сообщении #372888 писал(а):

ну у меня есть элемент оператора возмущения V(nklm),где каждый из 4х индексов пробегает значения от 1 до 10ти.
...
Спасибо.

Я так понял, что Вы уже догадались, что нужно представить $V_{nklm}$ в виде квадратной матрицы размерности $100\times100$ $V'_{10(n-1)+k,10(l-1)+m}$. Хочу только предупредить, что с выбором порядка индексов при этом следует быть очень осторожным. В зависимости от этого порядка (если, конечно, нет полной симметрии по всем престановкам индексов) собственные числа будут разными, и какие именно Вам нужны, можно определить, лишь полностью поняв все аспекты (и физические в том числе) условия задачи, которую Вы решаете.

Напомню также (на всякий случай), что для несимметричного тензора второго ранга правые собственные вектора не равны левым.