Векторные поля, потоки

[Niclax]

Здравствуйте. Помогите решить задачи:
Какие потоки у этих векторных полей:
$X\frac{\partial}{\partial y}-Y\frac{\partial}{\partial x}$
$X\frac{\partial}{\partial x}+Y\frac{\partial}{\partial y}$
?(под потоком понимается семейство диффеоморфизмов многообразия)
Правильно ли я посчитал их коммутатор:
$(-Y\frac{\partial X}{\partial x}+X\frac{\partial X}{\partial y}+X\frac{\partial Y}{\partial x}+Y\frac{\partial Y}{\partial y})\frac{\partial}{\partial x}+(-Y\frac{\partial Y}{\partial x}+X\frac{\partial Y}{\partial y}-X\frac{\partial X}{\partial x}-Y\frac{\partial X}{\partial y})\frac{\partial}{\partial y}$ ?

И такой вопрос: Рассмотрим одномерное движение(вдоль прямой). Мы двигались в одну сторону, в какой-то точке остановились и затем опять продолжили движение в ту же сторону. Движение = векторное поле = дифференциальное уравнение. Получаем, что через точку остановки проходит 2 интегральных кривых: движение и остановка. Но из теории ОДУ известно, что через любую точку может проходить не более одной траектории. Как такое может быть?

[Padawan]

Коммутатор правильно посчитан. Чтобы найти потоки надо систему ОДУ решать. Что нибудь про $X$, $Y$ известно? Пока только можно сказать, что траектории этих потоков взаимно ортогональны (так как векторные поля ортогональны). По крайней мере в тех точках, где $X^2+Y^2\neq 0$.
Если векторное поле в некоторой точке обращается в нуль, то эта точка является неподвижной для потока. Начиная движение из другой точки, вы в неподвижную не попадете (если выполнена условия теорема существования и единственности).

[moscwicz]

Niclax в сообщении #372244 писал(а):

Рассмотрим одномерное движение(вдоль прямой). Мы двигались в одну сторону, в какой-то точке остановились и затем опять продолжили движение в ту же сторону.

при таком движении векторное поле будет явно зависить от времени, и теорему существования и единственности надо будет применять в расширенном фазовом пространстве $(t,x)$. А проекция траектории из расширенного фазового пространства в фазовое пространство $(x)$ в неавтономной системе может самопересекаться и это теореме существования и единственности не противоречит

[Niclax]

Padawan в сообщении #372275 писал(а):

Что нибудь про $X$, $Y$ известно?

Вообще ничего.