Задача на составление уравнения

[dnoskov]

Здравствуй, Форум!

Вот такая задача:
Трём бригадам поручена определённая работа. Известно, что первая и вторая бригады, работая вместе, могут выполнить её за 55 дней. Известно также, что третья бригада затратила бы на эту работу на 11 дней больше, чем вторая. Найдите наибольший и наименьший возможные сроки, за которые выполнят эту работу три бригады, работая вместе.

Вот мои потуги:

Пусть три бригады, работая вместе, выполнят задание за $x$ дней, а каждая бригада в отдельности - за $x_1, x_2, x_3$ дней первая, вторая и третья бригада соответственно, тогда:

$x\cdot(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3})=1$

По условию, первые две бригады выполнят задание за 55 дней, работая вместе, поэтому за один день они вместе выполнят $\frac{1}{55}$ часть задания, значит: $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{55}$

Далее. Опять же, по условию: $x_3=x_2+11$

Итак, имеем: $x\cdot(\frac{1}{55}+\frac{1}{x_2+11})=1$ на этом этот вариант исчерпывается, т.к. далее, как я ни выражай $x_1$ через $x_2$ через $x_3$ и т.д. по кругу, а какого-нибудь хорошего уравнения не получается, а никакое из получившихся в итоге уравнений средствами алгебры 8 класса решить не имеется возможности (разве что я что-нибудь упустил (но пытался решить задачу очень упорно в течение довольно долгого времени)).

Так вот. Я думаю, что

• здесь есть какой-то ещё путь решения (только я не могу увидеть - какой), или
• в задаче не указано ещё одно (какое-нибудь) условие,

В связи с чем и прошу помощи у форума.

[faruk]

dnoskov в сообщении #372153 писал(а):

в задаче не указано ещё одно (какое-нибудь) условие

$x_2$ не может быть меньше 55.

[dnoskov]

faruk
Почему?


Ах, да... Но это не помогает (с первого взгляда)

[faruk]

dnoskov в сообщении #372248 писал(а):

Но это не помогает (с первого взгляда)

Вы уже составили уравнение, в котором $x$ зависит только от $x_2$.

$x_2$ находится в пределах от 55 до бесконечности. Соответственно, $x$ может принимать значения от 30 до 55.

[dnoskov]

Это для меня ново. Никогда раньше не видел таких задач.

Спасибо Вам! Теперь буду ещё немного более внимательным.



ЗЫ. Добавлю только, что эта задача (помещённая в задачнике Звавича "Алгебра 8кл. профильный уровень") не соответствует проходимому в учебнике (от этого задачника (это профильный Мордкович)) уровню. В частности, т.к. неравенства особо ещё не затрагивались, то и рационального пути рассуждения, следуя которому, ученик 8-го класса может подумать о таком решении (т.е. о решении с учётом выведенных ограничений), скорее всего нет.

Это, конечно, субъективно.

[dnoskov]

Ещё одна непривычная задача:

Имеется два слитка сплавов меди и олова. Первый весит $3$ кг и содержит $40\%$ меди, второй весит $7$ кг и содержит $30\%$ меди. Какой массы надо взять куски этих сплавов, чтобы после совместной переплавки получить $8$ кг сплава, содержащего $r\%$ меди? Найдите все значения $r$, при которых задача имеет решение.

И решил я её сам. Однако, меня терзают смутные сомнения, ибо в ответах указан другой результат. По сему, не соблагоизволит ли премногоуважаемое сообщество проверить скромные результаты моей недостойной умственной деятельности . Вот моё решение:

Пусть $x_1, x_2$ кг - вес куска соответственно первого и второго слитков, необходимый для получения $8$ кг сплава, содержащего $r\%$ меди, тогда:

• $(8-x_1), (8-x_2)$ кг - вес куска соответственно второго и первого слитков, необходимый для получения $8$ кг сплава, содержащего $r\%$ меди;
• $0.4x_1, \; 0.3x_2, \; 0.3(8-x_1), \; 0.4(8-x_2)$ кг меди содержится в этих кусках;
• $\frac{8\cdot r}{100}=0.08r$ кг меди должно содержаться в полученном слитке;

Составим уравнения:
$0.4x_1+0.3(8-x_1)=0.08r$
$4x_1+24-3x_1=0.8r$
$x_1=0.8r-24$

$0.3x_2+0.4(8-x_2)=0.08r$
$3x_2+32-4x_2=0.8r$
$x_2=32-0.8r$

Далее, т.к. $x_1+x_2=8$ и $x_1\leqslant 3, x_2\leqslant 7$, то:

• При $x_1=3 \Leftrightarrow x_2+3=8 \Leftrightarrow x_2=5$
• При $x_2=7 \Leftrightarrow x_1+7=8 \Leftrightarrow x_1=1$

Т.е. $1\leqslant x_1 \leqslant 3$ и $5 \leqslant x_2 \leqslant 7$
Поэтому:
$1 \leqslant 0.8r-24 \leqslant 3$ и $5 \leqslant 32-0.8r \leqslant 7$, откуда получаем:
$31.25\% \leqslant r \leqslant 33.75\%$

Ответ: $0.8r-24$ и $32-0.8r$, $31.25\% \leqslant r \leqslant 33.75\%$

И всё бы ничего. Но вот ответ к этой задаче гласит $30\% \leqslant r \leqslant 33.75\%$

Вот я и думаю, что, может быть, я что-то не так сделал?

[ИСН]

Много букв, но вроде всё так, а ошибка в задачнике. Ну в самом деле, если вот: у нас 7 кг сплава с 30%. 7. Больше нету. 7 не 8. Другой сплав брать нельзя, потому что в нём 40%; добавить его хоть сколько - станет уже не 30%. Никак не будет 8 кг по 30%.

[Алексей К.]

Правильно, но слишком громоздко.
Зачем Вам эти $x_1,x_2$? Имеем $0\le x\le3$, $0\le 8-x\le 7$. Значит, $1\le x \le 3$, что, конечно, и так ясно.
Дальше --- то самое уравнение для $x$ (которое у Вас для $x_1$). Ну и пределы для $r$ определяем.
Стоит поучиться писать яснее и компактнее.
(Но я, конечно, не имею в виду школьный стиль --- "2 ябл + 3 кор.=5ч." --- так писать точно не стоит)

[dnoskov]

Простите, пожалуйста за исчезновение. Совсем из головы вылетело.

И благодарю за ответы, вы меня успокоили.

Алексей К.
Стоит поучиться писать яснее и компактнее.

Тут вы, конечно, правы. Всему виной отсутствие в учебниках указующих пояснений и, в определённом смысле, "нагнетание пафоса" вокруг математики самими математиками и всеми, кто с ними общается по нисходящей. Заметил, что математика похожа на язык программирования со встроенным в мозг интерпретатором (а порой и компилятором) и, наверное, из таких суждений можно извлечь определённую пользу для процесса обучения.

ЗЫ. Надеюсь, что я не сумасшедший.