Вопросы про напряженность шара

[kkar]

Прошу ответить на вопросы, возникшие в ходе решения задачи: найти напряженность электрического поля внутри и снаружи шара, если его объемная плотность $\rho=ar^n,n>-2$. Радиус шара R.
Я пытаюсь применить теорему Гаусса: в качестве поверхности рассматриваю сферу.
1)при $r<R$
$q=\int_0^r 4 \pi r^2 \rho dr$(верно?), $q=\frac{4\pi a r^{n+3}}{n+3}$, тогда $E *4\pi r^2=4\pi q $, и $E=\frac{4 \pi a r^{n+1}}{n+3}$. Нет ли в этом решении лишних $4\pi$?
2)при $r>R$,
$q=\int_0^R 4\pi r^2 \rho dr=\frac{4\pi a R^{n+3}}{n+3}$(правильно ли расставлены пределы интегрирования?), и
$E *4\pi r^2=4\pi q $, откуда находится Е.
Есть ли ошибки в решении? Почему не надо считать напряженность при $r=R$? И почему в условии стоит $n>-2$, вроде это нигде не требуется?

[Munin]

kkar в сообщении #372118 писал(а):

Нет ли в этом решении лишних $4\pi$?

Нет, нету. Просто если бы задан был полный заряд шара, в коэффициент $a$ вошёл бы тот же множитель $4\pi$ в $-1$ степени, и в выражении для $E$ он сократился бы.

kkar в сообщении #372118 писал(а):

Почему не надо считать напряженность при $r=R$?

Почему не надо? Надо. Но вы уже посчитали: обе ваших части решения годятся для нестрогого неравенства, то есть работают и на границе шара, и дают равные ответы, в чём вы можете убедиться.

kkar в сообщении #372118 писал(а):

И почему в условии стоит $n>-2$, вроде это нигде не требуется?

Это требуется при интегрировании, иначе интеграл разойдётся.

[kkar]

Спасибо!
Остался один вопрос: правильно ли у меня расставлены пределы интегрирования в случае $r>R$? Вроде бы должны быть $\int_R^r$?

[Munin]

Пределы расставлены правильно (вот в первом случае у вас предел и переменная интегрирования обозначены одинаково, что нехорошо). Представьте себе интеграл с пределами $\int_0^r,$ как и в первом случае, но $\rho$ как функция принимает ненулевые значения только при $r<R,$ а дальше - нулевые. Тогда интеграл распадается на два слагаемых с разными пределами, второе из которых нуль.

[kkar]

Спасибо еще раз!