Вычисление интеграла с помощью интегральной формулы Коши...

[maxpostal]

Здравствуйте уважаемые участники форума, осталась 1/20 контрольной... Помогите пожалуйста советом!
Задание: Вычислить интеграл, применяя теорему Коши, интегральную формулу Коши или формулу для производных аналитической функции (контур L обходится против часовой стрелки).
$\oint\limits_L \frac{dz}{z^5 - z^3}$, где L - окружность:
б) $|z-i|=\frac12$
Решение: Область ограниченная контуром интегрирования $|z-i|=\frac12$ изображена на рисунке:

Функция $\frac{dz}{z^5 - z^3}$ аналитическая в области ограниченной кругом L. При $z=i; z=-i$ получаем $\frac12$i и -$\frac12$i соответственно. Поэтому в силу теоремы Коши:
$\oint\limits_L \frac{dz}{z^5 - z^3}=0$
В чем моя ошибка?

[Hymilev]

Все правильно

[ewert]

maxpostal в сообщении #371569 писал(а):

В чем моя ошибка?

В том, что эти полюса по разные стороны контура лежат -- один внутри, другой снаружи.

(да, и напрасно Вы упомянули про аналитичность внутри круга -- ой, напрасно, за это бьют, иногда даже ногами...)

Имеется в виду, конечно, что в знаменателе был перепутан знак, а иначе всё вообще бессмысленно.

[Hymilev]

полюса же на вещественной оси расположены

[ewert]

Hymilev в сообщении #371583 писал(а):

полюса же на вещественной оси расположены

Во-первых, в нормальных задачниках такие условия не встречаются. Во-вторых, автор предложил же половинки $i$ -- с чего бы вдруг.

[Hymilev]

ewert в сообщении #371585 писал(а):

Hymilev в сообщении #371583 писал(а):

полюса же на вещественной оси расположены

Во-первых, в нормальных задачниках такие условия не встречаются. Во-вторых, автор предложил же половинки $i$ -- с чего бы вдруг.

Так видно же это только часть задачи! возможно автор решил для контуров a и в, а для контура б у него получилось слишком просто по этому он и засомневался

[ewert]

Hymilev в сообщении #371591 писал(а):

возможно автор решил для контуров a и в, а для контура б у него получилось слишком просто

Ну взял же он откуда-то эти несчастные половинки $i$, которые ну очень на что-то похожи (хотя и не правильны). А впрочем, пусть он сам прояснит.

[Утундрий]

maxpostal в сообщении #371569 писал(а):

Функция $\frac{dz}{z^5 - z^3}$ аналитическая в области ограниченной кругом L. При $z=i; z=-i$ получаем $\frac12$i и -$\frac12$i соответственно. Поэтому в силу теоремы Коши:
$\oint\limits_L \frac{dz}{z^5 - z^3}=0$
В чем моя ошибка?

В том, что функция там не аналитична. Она бы и не против побыть аналитичной, да только полюс аккурат в $z=i$ не позволяеть...

[ewert]

Утундрий в сообщении #371606 писал(а):

, да только полюс аккурат в $z=i$ не позволяеть...

это, что называется, +1 аберрация, правда, неизвестно, чья...

[paha]

maxpostal, все убеждены, что в задании опечатка и должен быть знак + в знаменателе

хотя, может так и надо: вот как этот контур $L$ в варианте а) выглядит?

[Утундрий]

Ну, само условие вполне себе. Я только с рассуждениями решающего не согласен. А так - вынести зет-в-кубе да решить квадратное уравнение да найти который из корней внутре контура... что ж тут такого аберративного?

[maxpostal]

Про полюс $z=-i$ я и в правду зря упомянул.
Условие привел верное (по крайней мере так написано в задании, про осмысленность задания не мне судить). В условии задачи не написал только про контур а) $|z+1|=\frac12$, но он меня не интересует.
Интересно почему внутри области функция не аналитична, ведь это меняет способ решения?
Как я думаю при $z=i$ получаем:
$\frac{1}{i^5 - i^3} = \frac{1}{2i}$, где
$i^5=i$, $i^3=-i$

[Утундрий]

А! И! (в смысле, мнимая единица!)

Ну, тогда тупо банальный ляп.
Сам выбор вариантов а) и б) говорит о том, что внутре должон попадать один из корней. Так что, скорее всего, имелось в виду либо $z^5+z^3$, либо $\[\left| {z \pm 1} \right| = \frac{1}{2}\]$

[maxpostal]

Так, как вы считаете, мое решение прокатит, или написать "Препод переделывай методичку?"

[Утундрий]

maxpostal
Напишите следующее:
1) $z^5-z^3=z^3(z^2-1)=z^3(z-1)(z+1)$
2) полюса: $z=-1,0,1$ и ни один не попадает внутрь контура, следовательно интеграл равен нулю.

и пущай они разбираются...