Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана

[Gortaur]

Добрый день, столкнулся со следующим уравнением

$$ \max\limits_{r\in[0,1]}[r\cdot f''(x)+(1-r)\cdot (h(x) - f(x))] =0. $$

Здесь $f$ - неизвестная, $h$ - известная функции. Помогите классифицировать данное уравнение (чтобы почитать про численные методы его решения) - очень похоже на уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана, но в том присутствует и зависимость по времени $t$, которой у меня не. Может кто посоветует как решать такие уравнения? Параметр $r$ я выбрал в компакте, но вообще он может быть выбран и на всей прямой и на полупрямой, просто заменой, например

$$ \max\limits_{r}\left[\frac{1}{1+r^2}f''(x) + \frac{r^2}{1+r^2}(h(x) - f(x))\right]=0. $$

Вообще, интересует более широкий класс проблем

$$ \max\limits_{r\in[0,1]}[r\cdot Lf(x)+r\cdot (h(x) - f(x))] =0, $$

где $x\in \mathbb{R}^n$ а $L$ - линейный диф. оператор второго порядка с гладкими коффициентами.

[Bulinator]

А можно спросить, (в целях повышения образованности), что такое max в этом контексте? Я так понимаю максимум выражения в скобках при некотором значении параметра r на отрезке [0,1] равен нулю? Или нет?

[Gortaur]

Bulinator
это значит, что при том значении параметра $r$, при котором выражение в скобках максимально, оно равно $0$. Тое есть если $f(x)$ решение данного уравнения, и для любого $x$ мы определим $v(x) = \max\limits_{r\in[0,1]}(rf''(x)+(1-r)(h(x)-f(x)))$, то $v(x)\equiv 0$.

Например, если $h(x) =\sin{x}$, то $f(x)=1$. Задача идет из оптимального контроля.

[moscwicz]

Gortaur в сообщении #371418 писал(а):

Добрый день, столкнулся со следующим уравнением

$$ \max\limits_{r\in[0,1]}[r\cdot f''(x)+(1-r)\cdot (h(x) - f(x))] =0. $$

очевидно, что

$$ \max\limits_{r\in[0,1]}[r\cdot f''(x)+(1-r)\cdot (h(x) - f(x))] =\max\{ f''(x),h(x) - f(x)\}$$

-- Sat Nov 06, 2010 18:26:30 --

Bulinator
при каждом $x$ максимум берется

[Alexey1]

Gortaur в сообщении #371418 писал(а):

Может кто посоветует как решать такие уравнения?

Очень часто, решение ищется в виде $f(x)h(t)$, для некоторых функций $f,h$, которые необходимо выбирать зная граничные (начальные) условия.

[Bulinator]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #371427 писал(а):

Bulinator
это значит, что при том значении параметра $r$, при котором выражение в скобках максимально, оно равно $0$. Тое есть если $f(x)$ решение данного уравнения, и для любого $x$ мы определим $v(x) = \max\limits_{r\in[0,1]}(rf''(x)+(1-r)(h(x)-f(x)))$, то $v(x)\equiv 0$.

Например, если $h(x) =\sin{x}$, то $f(x)=1$. Задача идет из оптимального контроля.

moscwicz в сообщении #371429 писал(а):

Bulinator
при каждом $x$ максимум берется

Спасибо.

[Gortaur]

Видите ли, это разумеется очевидно, но я из правой части хотел получить левую для того, чтобы решать уравнение уже известными методами. Для правой части их нет. Для левой они есть по крайней мере для уравнений типа

$$ f_t+\max\limits_{r\in[0,1]}[rf_xx+(1-r)(h-f)]=0. $$

Мое исходное уравнение - стационарное в том смысле, что оно не имеет зависимости по времени.

Аналитическое решение не интересно, его часто просто нет. интересны численные методы.