Сравнение доверительных интервалов z-теста и t-теста

[rajkapoor]

Всем привет!

Буду благодарен если поможете разобраться со следующей задачей. У меня некоторый ступор произошел.
Нужно сравнить длины 2-х доверительных интервалов на одном уровне значимости (скажем, 5%):
- длину интервала при известной дисперсии:
$ \Delta_0 = 2 z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt n}$;
- длину интервала при неизвестной дисперсии:
$\Delta = 2 t_{\alpha / 2}(n-1) \frac{s}{\sqrt n}$.

Поскольку вторая длина -- случайная, нужно сравнить $\Delta_0$ и $E(\Delta)$.

Если посчитать, воспользовавшись леммой Фишера (или это теорема?), то получается, что нужно сравнить:
$t_{\alpha / 2}(n-1) \frac{\sqrt{2} \Gamma (\frac{n}{2})}{\sqrt {n-1} \Gamma (\frac{n-1}{2})}$ и $z_{\alpha / 2}$.

По идее, длина интервала при неизвестной дисперсии должна быть в среднем не меньше, чем при известной, но как доказать? Я проверил для некоторых n -- действительно не меньше.

Для гамма функции есть такое неравенство:
$\sqrt {x + \frac{1}{2}} > \frac{\Gamma (x + 1)}{\Gamma (x + 1/2)} > \sqrt {x + \frac{1}{4}$,
но от него толку мало -- можно только показать, что $t_{\alpha / 2}(n-1) \frac{\sqrt{2} \Gamma (\frac{n}{2})}{\sqrt {n-1} \Gamma (\frac{n-1}{2})} < t_{\alpha / 2}(n-1)$.

Как-то так...