Сходимость несобственных интеграллов

[Miktor]

Подскажите, есть 2 интегралла:
$$\int\limits_0^\infty\frac{sin{x}}{x} dx$ и $\int\limits_0^\infty\frac{cos{x}}{x} dx$
1ый сходится по признаку Дирихле т.к. $|cosx|\leqslant1$ и $sin(0)=0$ и $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0$
А вот 2ой:

$$\int\limits_0^\infty\frac{cos{x}}{x} dx=\int\limits_0^1\frac{cos{x}}{x} dx+\int\limits_1^\infty\frac{cos{x}}{x} dx$$

Как доказать что интеграл$\int\limits_0^1\frac{cos{x}}{x} dx$ сходится?
И еще

$$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\left\{\begin{array}{ccc}x=tg{t} \\ t=arctg{x} \\ dx=\frac{dt}{1+x^2}\end{array}=\int\frac{\sqrt{tg^2t + 1}}{tg{t}}dt=\int\sqrt{ctg^2t + 1}dt=\int\frac{dt}{|sin(t)|}$$

[ewert]

Miktor в сообщении #370477 писал(а):

Как доказать что интеграл$\int\limits_0^1\frac{cos{x}}{x} dx$ сходится?

никак -- он тупо расходится в нуле (песле чего бесконечность уже и совершенно неинтересна)

[Asalex]

По поводу интеграла с корнями: сделайте замену $t=\sqrt{x^2+1}$.

[Miktor]

Подскажите с интеграллом:
$\int^\infty_0 \frac{e^{-x}}{\sqrt{|x-x^2|}}dx $

[Bulinator]

Miktor в сообщении #375588 писал(а):

Подскажите с интеграллом:

$$\int^\infty_0 \frac{e^{-x}}{\sqrt{|x-x^2|}}dx $$

Он расходится в нуле.

[GAA]

Нет, Bulinator, он не расходится в нуле.

[ИСН]

И даже в единице не расходится.

[Bulinator]

GAA в сообщении #375599 писал(а):

Нет, Bulinator, он не расходится в нуле.

сорри, корень не заметил

[Miktor]

я думал что он в бесконечности расходится т.к.
$\int^\infty_0\frac{e^{-x}}{\sqrt{|x-x^2|}}dx \le\int^\infty_0\frac{dx}{\sqrt{|x-x^2|}}\sim$\int^\infty_0\frac{dx}{x}}

[Bulinator]

Miktor в сообщении #375650 писал(а):

я думал что он в бесконечности расходится т.к.
$\int^\infty_0\frac{e^{-x}}{\sqrt{|x-x^2|}}dx \le\int^\infty_0\frac{dx}{\sqrt{|x-x^2|}}\sim$\int^\infty_0\frac{dx}{x}}

Так можно сказать про любой сходящийся интеграл.

[Miktor]

но тогда в какой точке он расходится, то что он расходится, это точно

[ИСН]

Вы мне должны тыщу рублей, не знаю за что, но это точно