найти распределение отношения двух нормальных с.в.

[Geka]

вероятности х и y распределены по нормальному закону.
Заданы их матаматические ожидания и СКО.
Определить функцию распределения частного z=x/y

[dm]

Ответить на этот вопрос невозможно, если не известно, что х,у не зависимы или, если зависимы, то как именно...

[Гость]

dm писал(а):

Ответить на этот вопрос невозможно, если не известно, что х,у не зависимы или, если зависимы, то как именно...

Он наверняка имел ввиду, что функции независимы. Неуверена, но насколько я помню, надо задать интеграл через их плотности, которые в случае норального распределения имеют вид: $\frac {e^{-(x-m)^2/2d^2}}{\sqrt{\pi d}}$. Далее, поскольку у Вас обе величины распределены по одинаковому закону и под интегралом стоит е, то Вы их можете соответственно объеденить. Дальше Вы делаете подстановку всего того, что у Вас стоит в степени на какую-нибудь переменную, у Вас должно получиться что-то типо Гамма-функции, которую Вы и интегрируете.

[Dan_Te]

Цитата:

определить функцию распределения частного z=x/y

Это нетривиальная задача, по-моему. По крайней мере, когда я ее решал, у меня осталось такое впечатление.
Я могу выписать плотность распределения z, но
1) это здоровенная формула
2) я еще не проверял эту формулу

Вообще, вы уверены, что вам нужна эта задача? Обычно она так не ставится.

[PAV]

Если рассмотреть частный случай стандартных нормальных распределений, то это распределение Стьюдента с одной степенью свободы, которое совпадает с распределением Коши. Можно посмотреть в книгах, как оно выводится, и обобщить на случай нестандартных распределений.

[Dan_Te]

PAV писал(а):

Если рассмотреть частный случай стандартных нормальных распределений, то это распределение Стьюдента с одной степенью свободы, которое совпадает с распределением Коши. Можно посмотреть в книгах, как оно выводится, и обобщить на случай нестандартных распределений.

Это неправильно. Стьюдент - это нормальная делить на хи-квадрат, а здесь отношение двух нормальных.

[Capella]

PAV писал(а):

Если рассмотреть частный случай стандартных нормальных распределений, то это распределение Стьюдента с одной степенью свободы, которое совпадает с распределением Коши. Можно посмотреть в книгах, как оно выводится, и обобщить на случай нестандартных распределений.

Стандартное нормальное распределение задано как N(0,1), отсюда следует, что математическое ожидание равно 0, что не обязательно должно быть задано по условию. Конечно можно сказать, что плотность СНР является граничным значением, но здесь это не удастся использовать (центральная предельная теорема, Вы наверное это имели в виду?). Интеграл действительно ооочень громоздкий (надо будет искать дисперсию, для этого выводить характеристическую функцию, для этого считать преобразование Фурье...), вообще такии задачи задают обычно с другими распределениями. Во вторых, графики распределение Коши и нормального распределения действительно очень схожи, но они имеют абсолютно разные свойства.

[Capella]

А вааще, похоже напутано условие: либо распределение другое, либо, если нормальное, то дисперсия должна быть задана (необязательно конечно, но всё-же). Потому-что там придётся практически две задачи в одной решать...

[PAV]

Dan_Te писал(а):

PAV писал(а):

Если рассмотреть частный случай стандартных нормальных распределений, то это распределение Стьюдента с одной степенью свободы, которое совпадает с распределением Коши. Можно посмотреть в книгах, как оно выводится, и обобщить на случай нестандартных распределений.

Это неправильно. Стьюдент - это нормальная делить на хи-квадрат, а здесь отношение двух нормальных.

Стьюдент - это нормальная делить на корень из хи-квадрат. С одной степенью свободы - значит, корень из хи-квадрат есть просто модуль нормальной. А так как в числителе распределение симметрично относительно нуля, то от добавления модуля распределение не изменится.

То, что я написал, я уточнил по справочникам. Там подтверждены оба утверждения.

[Dan_Te]

Черт
Я протупил =))

[незваный гость]

У меня получмлось примерно так:
Пусть $p(x,m,d)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} d} e^{-\frac{{(x-m)}^2}{2{d}^2}}$ - плотность нормального распределения, а $N(x,m, d)=\int\limits_{-\infty}^{x}p(y,m,d) d y$ - функция распределения его.

Пусть, далее, $x$ имеет параметры $mx$ и $dx$, а $y$ - $my$ и $dy$.

По формуле Байеса $p(\frac{x}{y})=\!\!\int\limits_{x=\frac{x}{y}y}\!\!p(x)p(y)$. Обозначая $z\rightleftharpoons \frac{x}{y}$, беря Якобиан, и замечая, что все симметрично относительно $0$ ($\frac{x}{y}=\frac{-x}{-y}$) имеем $p(z)=2 \int\limits_{0}^{\infty}p(z \ y,mx,dx)p(y,my,dy)\ y \ dy$. Ну, тут засучиваем рукава и подставляем плотности: $2\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-\frac{(z\,y -mx)^2}{2 dx^2}}}{\sqrt{2\pi} dx} \frac{e^{-\frac{(y -my)^2}{2 dy^2}}}{\sqrt{2\pi} dy}\,y\,dy=\frac{1}{\pi\,dx\,dy}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-\frac{(z\,y -mx)^2}{2 dx^2}-\frac{(y -my)^2}{2 dy^2}}\,y\,dy$. Дабы теперь не сбиться со счету, берем отдельно показатель экспоненты $-\frac{(z\,y -mx)^2}{2 dx^2}-\frac{(y -my)^2}{2 dy^2}$. Выделяя полный квадрат, имеем: $-\frac{(mx-z\,my)^2}{2(dx^2+z^2 dy^2)}-\frac{1}{2}\left(\frac{y\sqrt{dx^2+z^2 dy^2}}{dx\,dy}}-\frac{my\,dx^2+z\,mx\,dy^2}{dx\,dy\sqrt{dx^2+z^2 dy^2}}\right)^2$. Константу (по $y$) мы вынесем, ничтоже усомнившеся, за знак интеграла, и сделаем подстановку, которая все нам нормализует $y\rightleftharpoons \frac{dx\,dy}{\sqrt{dx^2+z^2 dy^2}}(u+\xi)$, где \xi$\rightleftharpoons\frac{my\,dx^2+z\,mx\,dy^2}{dx\,dy\sqrt{dx^2+z^2 dy^2}}$. Теперь $p(z)=\frac{1}{\pi\,dx\,dy}e^{-\frac{(mx-z\,my)^2}{2(dx^2+z^2 dy^2)}}\int\limits_{-\xi}^{\infty}\frac{dx^2 dy^2}{dx^2+z^2 dy^2} e^{-\frac{u^2}{2}} (u + \xi)du=$$\frac{dx\,dy}{\pi\,(dx^2+z^2 dy^2)}e^{-\frac{(mx-z\,my)^2}{2(dx^2+z^2 dy^2)}}\int\limits_{-\xi}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{2}} (u + \xi)du=$$\frac{dx\,dy}{\pi\,(dx^2+z^2 dy^2)}e^{-\frac{(mx-z\,my)^2}{2(dx^2+z^2 dy^2)}}\left(e^{-\frac{\xi^2}{2}}+\sqrt{2\pi}\,\xi\,N(\xi,0,1)\right)$ .

При $mx=my=0$ имеем $\xi=0$ и распределение вырождается в $p(z)=\frac{dx\,dy}{\pi\,(dx^2+z^2 dy^2)}$ (обобщение Стьюдента ).

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Feci, quod potui