2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 ЛНДУ второго порядка
Сообщение04.11.2010, 23:33 
помогите решить
$y''-6y'+9=\sin(3x)$
в характеристическом уравнении ЛОДУ 3 - корень кратности 2, следовательно ищу частное решение ЛНДУ в виде
$x^2(A\cos(3x)+B\sin(3x))$
но после взятия производных 1 и 2 порядка от этого выражения, и подстановки в уравнение ничего взаимно не уничтожается..
как быть?

 
 
 
 Re: ЛНДУ второго порядка
Сообщение04.11.2010, 23:58 
Аватара пользователя
Ещё раз, медленно: какой корень? А какой общий вид решения?

 
 
 
 Re: ЛНДУ второго порядка
Сообщение05.11.2010, 00:05 
3 - двукратный корень характеристического уравнения ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ
$z^2-6z+9=0$ (это полный квадрат)
общее решение ЛОДУ равно
$y_{00}=(C_1+C_2x)e^{3x}$

 
 
 
 Re: ЛНДУ второго порядка
Сообщение05.11.2010, 00:07 
Аватара пользователя
Ну вот видите: совсем другое дело.
Теперь надо как-то учесть правую часть.

 
 
 
 Re: ЛНДУ второго порядка
Сообщение05.11.2010, 00:08 
а в какой форме искать частное решение ЛНДУ?

 
 
 
 Re: ЛНДУ второго порядка
Сообщение05.11.2010, 00:14 
Аватара пользователя
В такой же, в какой к нам пришла неоднородность: синусы с косинусами.

 
 
 
 Re: ЛНДУ второго порядка
Сообщение05.11.2010, 00:16 
А еще можно варьировать постоянные.

 
 
 
 Re: ЛНДУ второго порядка
Сообщение05.11.2010, 00:28 
в форме $A\cos(3x)+B\sin(3x)$ или же $x^2(A\cos(3x)+B\sin(3x))$ ?

 
 
 
 Re: ЛНДУ второго порядка
Сообщение05.11.2010, 00:38 
Аватара пользователя
Можете поискать в обеих, а потом задаться вопросом, откуда у Вас взялась одна из них (та, которая неправильная).

 
 
 
 Re: ЛНДУ второго порядка
Сообщение05.11.2010, 00:50 
хм..в форме $A\cos(3x)+B\sin(3x)$ решение находится..
но по идее ж надо искать в форме $x^2(A\cos(3x)+B\sin(3x))$ так как корень двукратный..
или так надо было бы считать при ЛНДУ вроде $y''+9y=\sin(3x)$, где корни ЛОДУ мнимые и в общем решении вылазят синус с косинусом?

 
 
 
 Re: ЛНДУ второго порядка
Сообщение05.11.2010, 00:55 
Аватара пользователя
Именно так (то, что после "или"). Только там был бы не просто $x^2$, а какой-то неизвестный квадратный трёхчлен.

-- Пт, 2010-11-05, 01:56 --

Стоп, не так. Так было бы при совпадении трёх...
...впрочем, плевать. Проехали. Не наш случай.

 
 
 
 Re: ЛНДУ второго порядка
Сообщение05.11.2010, 00:58 
а не просто ли $x$, так как там корни всё равно сопряженные..
ну да ладно..
спасибо Вам большое, что толкнули в нужном направлении :)

 
 
 
 Re: ЛНДУ второго порядка
Сообщение05.11.2010, 07:25 
Sate в сообщении #370303 писал(а):
так как корень двукратный..

Корень-то двукратный. А вот есть ли резонанс-то?...

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group