2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Оператор совпадения двух частиц?
Сообщение04.11.2010, 18:40 
Аватара пользователя
Допустим, в одномерной потенциальной яме с бесконечно-высокими стенками (простирающейся от 0 до 1) находятся две невзаимодействующие частицы (бозоны).

Их состояние описывается функцией F(x,y), где x -- координата первой частицы, а y -- второй.

Как можно записать оператор физической величины, который отвечает на вопрос, близкий к вопросу "совпадают ли координаты частиц"?

Допустим, если, для строгости, мы определим искомую величину как-то так

$10 e^{-50 (x-y)^2}$

то будет ли и оператор этой величины определяться этой же формулой?

Не будет ли само собственное значение этой величины связано с этой формулой? Ведь если нормировать этот холмик, то получится, как раз, плотность вероятности в собственном состоянии?

Есть ли какой-то общий смысл у величин, операторы которых выражаются формулами

$|F_0|^2$

то есть, выражениями для плотности вероятности в некоем состоянии?

Спасибо.

 
 
 
 Re: Оператор совпадения двух частиц?
Сообщение04.11.2010, 20:23 
Аватара пользователя
Dims в сообщении #370107 писал(а):
Допустим, в одномерной потенциальной яме с бесконечно-высокими стенками (простирающейся от 0 до 1) находятся две невзаимодействующие частицы (бозоны).

Что означает уточнение, что они бозоны? Они между собой тождественны, с симметричным правилом перестановки, или что-то иное?

Dims в сообщении #370107 писал(а):
Как можно записать оператор физической величины, который отвечает на вопрос, близкий к вопросу "совпадают ли координаты частиц"?

Чем вас $\delta(x-y)$ не устраивает?

Dims в сообщении #370107 писал(а):
Не будет ли само собственное значение этой величины связано с этой формулой? Ведь если нормировать этот холмик, то получится, как раз, плотность вероятности в собственном состоянии?

Если $c(x,y)\psi(x,y)=\lambda\psi(x,y),$ то $c(x,y)=\lambda$ или $\psi(x,y)=0.$

 
 
 
 Re: Оператор совпадения двух частиц?
Сообщение05.11.2010, 08:07 
Dims в сообщении #370107 писал(а):
...то будет ли и оператор этой величины определяться этой же формулой?
\

Оператор координаты (ровно как и функции от координаты) действует на волновую функцию, просто умножаясь на нее, при условии, что мы находимся в пространстве координат.
Ну и конечно, справедливо замечено Munin-ым: $L \psi=\lambda \psi$.

 
 
 
 Re: Оператор совпадения двух частиц?
Сообщение05.11.2010, 09:33 
А почему такая сложная функция от $x,y$?

 
 
 
 Re: Оператор совпадения двух частиц?
Сообщение05.11.2010, 10:59 
Аватара пользователя
Что такое координаты частиц у вас? Если это, как принято, среднее значение оператора координаты, то ответ будет: $X\psi - Y\psi$, X и Y операторы координаты первой и второй частицы. Бозоны или нет к оператору не относится - это свойство волновой функции. Но это не есть проверка на совпадение частиц - что они находятся в одном и том же состоянии. Чтобы проверить нахождение частиц в одном и том же состоянии надо на волновую функцию частиц подействовать оператором числа частиц в искомом состоянии. Если волновая функция является собственным вектором с собственным значением 2, то ответ положительный.

 
 
 
 Re: Оператор совпадения двух частиц?
Сообщение05.11.2010, 11:22 
Аватара пользователя
В качестве функции совпадения я взял обычную формулу Гаусса при сигма = 0.1
В пределе при сигма стремящемся к нулю она, как известно, переходит в дельта-функцию. Мне нужно просто чтобы можно было вычислить в компьютерной модели, поэтому дельта-функция не подходила.

Естественно, разность не совсем подходит для функции совпадения, потому что она даёт ноль при совпадении.

Да, про "бозон" я ляпнул, видимо, зря, имелось в виду, что частицам не запрещено находиться в одной точке.

 
 
 
 Re: Оператор совпадения двух частиц?
Сообщение05.11.2010, 11:36 
Аватара пользователя
Dims в сообщении #370353 писал(а):
Мне нужно просто чтобы можно было вычислить в компьютерной модели, поэтому дельта-функция не подходила.

Я думаю, в такой ситуации нужно изобретать аналог дельта-функции, специфический для данной компьютерной модели, поэтому нужно разбираться в подробностях её устройства. Например, в конечно-разностных моделях можно сделать функцию в виде пика ширины $h.$ Или, если модель в вашей власти, её можно усложнить, позволив моделировать в конечном счёте и операторы типа дельта-функции.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group