Кто первым придумал такое скалярное произведение?

[st256]

Пусть $x(t)$ и $y(t)$ - действительные функции, определенные на некотором отрезке $[-T,T]$, тогда если ввести скалярное произведение вида

$\left( x(t), y(t) \right) = \sum\limits^{\infty}_{k=0} \frac {1}{(k!)^2} x^{(k)}(0) y^{(k)}(0)$

то разложение функции на этом отрезке в ряд Тейлора становится разложением в ряд Фурье. Другими словами, полиномы $t^r$ и $t^m$ становятся ортогональными при $r \ne m$.

[paha]

Пополним линейное пространство многочленов относительно этого скалярного произведения. Что получится?

[st256]

paha в сообщении #370134 писал(а):

Пополним линейное пространство многочленов относительно этого скалярного произведения. Что получится?

Не понял.... Но ничего страшно не получится точно. Единственно про радиус сходимости необходимо помнить. А так все просто прекрасно!

[paha]

ну... а зачем там $(k!)^2$? Ведь ортогональность и без этого множителя имеет место

[Null]

Для ортонормированности

[paha]

а... что б базис ортонормированный был)

[st256]

Так все-таки, у кого это произведение опубликовано? Мне ссылка нужна.

[moscwicz]

Любопытная конструкция, где-то я ее видел. Пополнение множества многочленов по такой норме это подпространство (незамкнутое) в пространстве функций аналитичных в $|z|<1$.

Думаю, что это подпространство описывается в терминах классов Харди.

[sergei1961]

Ряд для произвольных функций не обязан сходится вроде, или как? Нужны ограничения.
С рядами не видел, а когда строятся многочлены, ортогональные относительно такого возмущённого скалярного произведения: скажем обычное с.п. + сумма некоторого числа $f^k(0)g^k(0)$ -этим занимается среди прочих Борис Осиленкер, у него есть книга по теме на англ.
Кстати, на комплексной единичной окружности ряд Тэйлора и есть ряд Фурье.